한량지아이의 와이매쓰 Y-Math 수학 블로그

일차부등식 활용 - 과부족 문제

한량 지아이 — Sat, 6 Jun 2026 23:19:35 +0900

일차 부등식 활용 중 실생활 관련 과부족 문제 모아봤습니다.

중등 2-1학기 일차 부등식의 활용 심화 문제 풀고 싶은 분도 같이 푸셔도 됩니다.

부등식 과부족 문제_1.0.pdf

0.05MB

시험지 pdf만 업로드 하는 거고, 해설은 이전에 업로드 했었던 아래 포스팅 참고하세요.

일차 부등식의 활용 과부족 문제 (의자 문제)

일차 부등식의 활용에서 과부족 문제를 많이들 어려워하시는 것 같아 몇 개 풀이를 준비해보았습니다. 중학교 2학년 때 일차 부등식 배우면서 나오는 경우도 있고, 고1때 일차 부등식 하면서 다

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부호변화, 이분법적인 상황 문제 모음

한량 지아이 — Sat, 28 Mar 2026 15:54:40 +0900

부호변화와 같은 이분법적인 상황을 다루는 문제가 금번 2026년 3월 모의고사에 출제 되었네요.

겸사겸사 10년 전에 작성했던 자료를 꺼내 뒤지며 쓰는 포스팅입니다.

문제1

2026년 3월 모의고사 확률과 통계 #30

정답 : 100

문제2

2016년 EBS N제 확통 #86

정답 : 2046

문제3

정답 : 5/16

문제4

년도는 기억 안나지만 아마도 수능완성..

정답 : ㄱ, ㄴ

문제5

2010년 9월 평가원 나형 #16

정답 : 15/32

문제6

2015년 7월 교육청 A형 #30

정답 : 45

[교재] 대수 추천교재 (고교학점제 대상 09년생 이후)

한량 지아이 — Sun, 14 Dec 2025 22:02:18 +0900

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고교 학점제 시행하는 09년생 이후 학생들을 대상으로 하는 포스팅입니다.

아래는 제가 수업에 사용하는 교재이며,

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1. 대수가 처음이라면? 연산서 한권은 필수.

대수라는 과목을 처음 배우는 경우 기본적인 연산에 대한 훈련이 필요함.

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2. 대수 - 가벼운 개념서

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풍산자

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* 개념원리 or 풍산자 둘 중 한 권 구매

3. 대수 기본 개념서 : 말 많은 책.

수학의 바이블 ON, 수매씽 개념, 숨마쿰라우데 등 말 많은 개념서가 필요함.

원래 수학의 바이블 저자 두 분이 쓴 책이 수매씽 개념임. 즉, 수매씽 개념 = 이전 버전 수학의 바이블.

수매씽 개념

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수학의 바이블 개념 ON

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숨마쿰라우데

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* 바이블 / 수매씽 / 숨마쿰 중 마음에 드는 책 1권

4. 필수 유형서

쎈

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마플교과서

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* 쎈, 마플교과서 둘 다 구매

// 여기까지 필수 구매 교재

5. 기출 문제지

고2 마더텅

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기출의 미래 수학1

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고3 마더텅 수학1

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마더텅 수능기출문제집 영어 어법·어휘 (2025년)(2026 수능대비) - 수학 | 쿠팡

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* 대수 선행을 한 번 이상 한 친구들만 구매.

* 1-2등급대 : 고3 마더텅, 수기미 수학1 구매

/ 3등급 이하 or 주1회 등원자 : 고2 마더텅 구매

Q. 선생님 저는 1등급인데 주1회 오는데요? -> 수기미 수학1 또는 고2 마더텅 구매!

[교재] 고2, 고3 확률과 통계 추천 문제지, 교재

한량 지아이 — Thu, 11 Dec 2025 21:00:30 +0900

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고교 학점제 대상 아닌 학생들용. (예비 고3)

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고2, 고3 언제 확통을 배우든 상관없이 진행하는 교재는 동일합니다.

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1. 확통이 처음이라면?

선행용 교재. 적당한 설명과 문항 수.

비슷하므로 둘 중 한권만 풀어도 됨. 풍산자가 좀 더 쉬움.

풍산자

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개념원리

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* 풍산자 or 개념원리 중 본인 마음에 드는 교재 1권 구매

2. 기본 개념서

반드시 한 권은 있어야 하는 기본 개념서입니다.

세 권 다 읽어보고 본인이 가장 마음에 드는 설명을 해주는 교재를 구매하세요. 여러권 사도 괜찮습니다.

수학의 바이블 : 설명이 쉽고 자세합니다.

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숨마쿰라우데 : 상위권 선호 교재입니다. 역시나 설명이 잘 되어있습니다.

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숨마쿰라우데 수학 기본서 - 수학 | 쿠팡

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마플 교과서 : 시너지 말고, 기출 말고 교과서입니다. 구성이 아주 훌륭합니다.

https://link.coupang.com/a/ddkgHa

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* 숨마쿰 or 바이블 중 본인이 마음에 드는 책 한 권 구매 (둘다 사도 상관은 없음)

* 마플교과서는 필수 구매

* 한완수는 좋은 교재가 맞지만, 고2때 확통을 하고 고3 올라가는거 아니면 현재 시점에서는 구매하지 않아도 됨.

3. 훈련서

연습용 교재입니다. 확통은 금방 풀기 때문에 여러권 사셔도 됩니다.

쎈 수학 : 초반에 보통 라쎈으로 시작 많이 하는데, 확통은 쎈으로 시작해도 됩니다.

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내신 고쟁이 : 의외로 확통은 평범함.

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* 쎈 필수구매 (쎈B, 라이트쎈, 개념쎈 등등 아님. 그냥 쎈)

* 고쟁이는 본인이 하고 싶으면 구매 (필수 아님)

4. 좀 더 심화된 내용을 풀고 싶다면?

블랙라벨

: 블라 시리즈 중 확통이 가장 쉬움. 얇아서 금방 끝남.

https://link.coupang.com/a/ddkt25

블랙라벨 고등 확률과통계(2019) - 수학 | 쿠팡

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실력정석

: 연습문제가 좋고, 다른 문제지에 없는 유형이 꽤 있음. 자사고나 특목고, 명문고 학생이라면 연습문제는 선별해서라도 풀어야함.

https://link.coupang.com/a/ddkur7

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+ 학교에서 부교재로 선정되는 책들

올림포스, 일품, 일등급 수학 등은 고난도로 분류된 문제들은 따로 풀만함. 나머지는 문항 겹침.

* 실력 정석과 블랙라벨은 지금 구매할 필요는 없음. 만약 3월 중순까지 구매한 교재를 다 풀거나 반 이상 풀면 그 때 구매 하면 됨.

[한컷] 2024년 수능 공통 20번

한량 지아이 — Sun, 14 Sep 2025 23:35:46 +0900

중등 기하 성질을 이용하여 상당히 풀이가 간편한 한컷 풀이입니다.

풀기 전에 알아야 하는 성질

삼차함수 위의 한 점에서 그은 접선이 곡선과 다시 만나는 점

삼차함수의 접선이 곡선과 다시 만나는 점 오늘은 삼차함수에서 알아두면 매우 좋은 꿀팁 하나 알려드리려고 합니다. 바로 삼차함수의 접선이 다시 함수와 만나는 점에 관한 내용이에요. 삼차

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직각삼각형 공식 총정리 (소공식, 피타, 닮음)

중학교 2학년때부터 거의 암기해야 하는 공식이 있습니다. 고3 때까지 지속적으로 계속 나오기 때문에 까먹었다면 계속 복습하셔야 해요. 그래서 사실상 고등학생을 위한 중학교 도형 리마인드

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문제 해설은 아래 유튜브 참조하시면 됩니다.

https://youtu.be/wmvBmnD0vAY?si=uh0DZSdjL-_wCgUl

[문풀] 고2 2013년 3월 학평 B형 #17 직선의 방정식

한량 지아이 — Mon, 25 Aug 2025 00:05:43 +0900

중등 기하를 잘 이용하면 1분도 안되는 시간만에 풀 수 있습니다.

해제는 아래 유튜브 영상 참고하시기 바랍니다.

https://youtu.be/v70IBoqI270?si=o82UIA--yrIoNgSj

참고로 위 문제는 고2 기출이지만 3월달 출제 문제라 고1 수학이 대상입니다.

표현하기 어려운 함수의 미분계수 - 변수 바꿔야 하는 함수 문제 모음

한량 지아이 — Sat, 23 Aug 2025 15:45:23 +0900

중간에 변수를 다른 걸로 설정하거나, 관계식을 찾아야 하는 문제 모음입니다.

2015년 6월 B형 #21

정답 : 1번

위 문제는 부등식의 영역이 나오기 때문에, 아래와 같이 바꿔서 푸시면 됩니다.

* 중심이 (0,1), 반지름이 1인 원과 양의 실수 t에 대하여 y=tx가 만나서 이루는 활 꼴 중 넓이가 작은 영역의 넓이를 f(t)라 하자. f '(2)의 값을 구하여라.

정답 : 8/25

2023년 9월 고3 모의고사 #29 (2022년도 시행)

정답 : 3

2024년 9월 미적 #30

정답 : 32

2026년 6월 고3 미적#27 (2025년 시행)

정답 : 3번

한 번에 출력해서 풀어보고 싶으신 분은 아래 시험지 출력하시면 됩니다.

미적분 - 변수 변환 연습(정답없음)1.0.pdf

0.11MB

미적분 - 변수 변환 연습(정답있음)1.0.pdf

0.11MB

#1은 부등식의 영역을 이용한 문제라 프린트에서는 문제를 변형함.

[문풀] 고1 2015년 9월 #26 (원의 방정식)

한량 지아이 — Fri, 25 Jul 2025 23:19:49 +0900

중2, 중3 기하로 쉽게 푸는 원의 방정식 문제풀이입니다.

식 한 줄 쓰지 않고 기하적인 성질만 이용해서 바로 풀어봤어요.

해제는 아래 유튜브 영상 참고하시면 됩니다.

https://youtu.be/gFeFu_u_1pk?si=VEabAuv-lGYTcRRQ

티스토리 임시저장 글 70개 날아감.

한량 지아이 — Wed, 23 Jul 2025 23:30:10 +0900

티스토리 임시저장글 약 70개 가까이를 날려 먹었습니다.

놀라서 살펴보니 최근 업로드 글이 4월이네요.

중간고사 대비하면서 열심히 올렸고,

바빠서 기말고사 지나고

방학 특강 시작하고

업로드할 자료를 고르려고 보니

기간이 벌써 100일 넘게 지났네요.

티스토리 운영하는 거의 5년 가까운 시간동안, 임시저장 기간이 지나서 포스팅을 못 해본 건 이번이 처음입니다.

이전에는 원래는 완성도를 높인답시고

문제를 계속 모아만 두고 안 올려서..

문제 모음이라는 포스팅으로 올린 적도 있었지만..

목록조차 업데이트 하지 않아서 날아간 게 뭔지 감도 안 잡히는군요;

남탓을 할 수는 없지만,

솔직히 말하자면 포스팅 할 동력을 많이 잃어버리긴 했습니다.

정해진 건 없어요, 다만 이번 교훈으로 티스토리 임시 저장글은 신뢰할 수 없을 거 같네요;

앞으로는 문제만 모아놓고 수시로 업데이트 하거나..

아니면 임시저장기간이 없는 구글 블로그로 이사를 가는 것도 고려중입니다.

혹시라도 블로그 이사 간다면 남기겠습니다.

[내신대비] 인수분해 - 문자 3개 인수분해

한량 지아이 — Sun, 13 Apr 2025 23:27:09 +0900

공식 외워서 하는 간단한 인수분해 말고, 복잡한 식의 인수분해 중 문자가 3개인 문제들만 선별해보았습니다.

복잡한 식의 인수분해 기본 알고리즘은 아래 포스팅 참조하시면 됩니다.

복잡한 식의 인수분해 - 문자 3개 나오는 경우

오늘은 복잡한 식의 인수분해 중, 문자가 3개 나오는 유형을 연습해 보겠습니다. 우선은 복잡한 식의 인수분해를 어떻게 풀어야 하는지 알고리즘부터 살펴봅시다. 복잡한 식의 인수분해 항의 개

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아래는 오늘 풀어볼 문제들입니다.

기본적인 방법은 동일합니다.

낮은 차순의 문자로 내림차순 정렬 -> 상수항 인수분해 -> 전체 인수분해

혹시 pdf 다운받아서 풀어보고 싶으신 분들은 아래 파일 받으시면 됩니다.

원래는 내신 대비 자료 올리면서 같이 영상도 촬영해서 올리려고 했는데... 현업과 병행하다보니 계속 미뤄지는군요..ㅠ

추후 업로드 되면 링크 같이 걸어두겠습니다.

인수분해1 - 문자 3개 인수분해 연습_1.1.pdf

0.16MB

[내신대비] 나머지정리 (2) - 숫자로 나눈 나머지

한량 지아이 — Sat, 29 Mar 2025 23:38:07 +0900

나머지 정리 중 숫자를 치환하여 직접 나누는 문제 연습해볼게요.

오늘 풀어볼 문제입니다.

기본기는 쉬운 편이니 넘어가고,

응용에서의 중요 포인트는

1. 나머지가 음수가 나올 때 0 혹은 양수로 변환

2. 나누는 수보다 나머지가 크지 않게 조절

3. 거듭제곱으로 편하게 치환할 수 있는 경우도 고민.

요걸 고려하면서 문제를 풀어보세요.

252=x로 치환하면 금방 나옵니다.

8=x로 치환하면 금방 나옵니다. 단, 나머지가 7보다 더 커지기 때문에, 끝까지 나눠주셔야 합니다.

100을 치환하는 편이 더 쉽습니다.

3을 4번 곱하면 81이 되죠. 이걸 이용하는 편이 쉽습니다.

이것도 2의 네제곱이 16인걸 이용하시는 게 더 편하죠. 나머지 음수 나오면 다시 변환해줘야하고요.

4를 치환하면 일거양득!

정답은 아래 프린트 인쇄해서 확인해보세요 :-)

나머지정리2 숫자로 나눈 나머지_1.0.pdf

0.16MB

[내신대비] 복소수 실수 조건 응용문제

한량 지아이 — Sat, 22 Mar 2025 22:15:37 +0900

고난도로 나오는 복소수의 실수 조건을 응용한 문제입니다.

복소수는 z=a+bi이기 때문에(a,b는 실수)

잘 모르겠으면 이렇게 쓰고 참/거짓을 판별하면 됩니다.

그러나 이렇게 풀면 너무 오래 걸리는 것 같은 문제들이 있죠.

문항 3제를 선정해 보았습니다.

z=a+bi로 두어도 풀리긴 합니다. 그리 오래 걸리진 않아요. 켤레의 성질을 이용하면 식정리만 잘해도 답이 바로 나옵니다.

역시나 z=a+bi로 두어도 풀리긴 합니다. 켤레의 성질을 이용하는 풀이도 연습 해두시면 좋습니다.

이건 켤레의 성질을 이용하시는 편이 훨씬 편합니다. 풀이는 긴 편이니 아래 포스팅 참고하시면 됩니다.

복소수 실수 조건 응용 문제

오늘은 고난도로 종종 나오는 복소수의 실수 조건을 응용한 문제 몇 개를 풀어 보겠습니다. 복소수의 성질 하나만 살펴볼게요. pf) z=a+bi라고 두면, 주어진 식은 a+bi = a-bi이므로 2bi=0, 즉 b=0이 되므

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문제지 다운로드 (25.03.26 문제 추가)

복소수 실수조건_1.1.pdf

0.16MB

조만간 해당 프린트를 이용한 풀이도 유튜브에 업로드 할 예정입니다.

[내신대비] 나머지 정리 (1) 고차식으로 나눈 나머지

한량 지아이 — Sat, 15 Mar 2025 23:40:26 +0900

나머지 정리 숫자 대입하는 유형은 대부분 잘 합니다.

그렇지만 내신대비까지 하려면 여기서 한 단계 더 나아가야 해요.

나머지 정리는 유형별로 워낙 다양해서 단계별로 업로드 할 예정입니다.

오늘은 우선 고차식으로 나눈 나머지를 구하는 문제를 다룰 거에요.

포스팅 최하단에 문제와 정답은 먼저 올렸고, 풀이는 순차적으로 차근히 올리겠습니다.

참고로 아래 포스팅을 먼저 보시면 도움이 많이 되니, 먼저 보고 이어서 포스팅 읽어보시는 것 추천합니다.

[나머지 정리] 이차식, 완전제곱식으로 나눈 나머지

이차식으로 나눈 나머지 정리 오늘은 나머지 정리를 다뤄보겠습니다. 보통 일반적으로 서로 다른 수를 대입하여 푸는 건 쉽습니다. 그래서 많이들 틀리는 유형만 가볍게 다뤄볼까 해요. 첫 번째

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나머지정리 유형1. 고차식으로 나눈 나머지

가볍게 문제를 풀면서 설명을 해보겠습니다.

삼차식으로 나누면 나머지가 이차 이하로 나옵니다. 이걸 일반적으로 미지수를 다 둬버리면 대입할 숫자가 두 개 밖에 없어서 구할 수가 없어요. 그럼 어떻게 해야할까요? 바로 이차식으로 나눈 나머지를 줬다는 점을 힌트로 직접 나머지 부분을 구성하는 것입니다.

위의 문제가 풀린다면 이것도 금방 할 수 있습니다.

올라가도 푸는 방법은 동일합니다.

이 문제는 위의 셋 보다는 약간 어렵습니다. 나머지가 삼차 이하인데, 우리는 이차식으로 나눈 나머지만 알고 있거든요. 그래서 얘는 몫까지 설정해주셔야 해요.

나머지정리 문제지 다운로드

나머지정리1 고차식으로 나눈 나머지_1.1.pdf

0.16MB

오늘 풀어본 문제들이 담겨있는 프린트입니다. 정답은 문제 바로 밑에 적어두었어요. 먼저 뽑아서 풀어보시고, 풀이가 궁금하신 분들은 조만간 업로드 할 유튜브 시청을 하시면 됩니다. :-)

일차함수의 역함수 y= f(ax+b)의 역함수 구하기

한량 지아이 — Sun, 15 Dec 2024 23:23:52 +0900

기하적으로 본다면 y=f(x)에, x대신 ax를 대입후, x축 방향으로 -b/a만큼 평행이동 시킨 그래프이므로 이걸 반영해서 써도 됩니다. 역함수 입장에서는 이 과정을 반대로 하면 되겠죠?

아래 문제도 한 번 풀어보세요!

명제 - 집합 포함관계를 이용한 필요충분조건 문제 (벤다이어그램)

한량 지아이 — Fri, 13 Dec 2024 00:42:24 +0900

명제에서 집합의 포함관계를 이용하여 필요충분조건을 판별하는 문제가 있길래 갖고 와봤습니다.

벤다이어그램을 이용하여 풀면 금방 풀리는데, 그냥 증명하려면 좀 힘들거 같더라고요.!

오늘 예제로 갖고 온 건 한 문제지만, 나중에 더 발견하게 되면 추가하겠습니다.

문제

세 집합 A,B,C에서 두 조건 p,q가 다음과 같을 때, p가 q이기 위한 필요충분조건인 것을 찾으시오.

(가)

p : A∩(B∩C)=A

q : A∪(B∪C)=B∩C

(나)

p : A∪(B∩C)=A

q : A∩(B∪C)=B∪C

(다)

p : A∪(B-A)=B

q : A ⊂ B

문제를 풀 때 p가 무슨 조건인지 모두 찾아보세요.

집합의 포함관계의 경우 저는 주로 벤다이어그램을 그려서 찾는 편인데 이게 익숙해지면 굉장히 편하답니다. :-)

조건에 맞는 벤다이어그램을 그려본 다음 p이면 q가 되는지 확인을 해보시면 되겠죠?

인수분해 - 공통부분 중 상수항 치환하는 문제

한량 지아이 — Mon, 9 Dec 2024 17:53:45 +0900

공통수학1의 인수분해, 처음에 풀 때 연습을 많이 하셔야 합니다.

공통부분을 치환하는 유형의 경우에는 사실 중학교 3학년 때도 다루던 부분이라 크게 어렵지는 않은데요,

대부분의 예제들이 항상 이차항 + 일차항만 묶어서 치환하길래 아닌 문제를 하나 갖고 와봤습니다.

아래는 간단한 전개 문제입니다.

네 개를 한 번에 전개하기는 힘드니까 두 개씩 묶어서 부분 전개 후 공통부분을 치환하여 푸시면 되죠. 이게 처음에 익숙하지 않으시다면 아래처럼 세 가지 경우를 모두 다 해보세요.! 연습을 한다면 나중에는 잘 보일 것입니다 :-)

아래 문제는 2024-1-1-m 다정고 #15입니다.

문제 한 번 같이 풀어볼까요?

우선 이런 유형의 문제는 무턱대고 전개하시면 곤란합니다. 왜냐하면 시키는 게 결국은 '인수분해'거든요. 전개를 다 해서 4차식이 되면, 이걸 다시 인수분해 하면 되긴 하는데.. 미지수도 섞여있으므로 중간에 적당히 치환을 해서 인수분해를 하는 편이 좋겠죠?

공통이 될만한 부분이 나오게끔 부분적으로 전개를 하는 과정에서,

꼭 이차항과 일차항이 같을 필요는 없습니다. 위와 같이 이차항 + 상수항을 같게 치환하셔도 되죠. 물론, 일차항 계수가 다르고, 일차항+상수항이 같다면 이걸 치환해도 됩니다. 목적은 전체 전개를 안 하고 조금이라도 간단하게 인수분해를 하려는 것이기 때문이죠.

아, 그리고 도중에 완전 제곱식을 만들 때 판별식 D=0을 바로 사용하셔도 됩니다.

이 문제는 제가 아이들 지도할 때 설명은 하는데, 예시는 일반적인 문제지에서 잘 안다루길래 한 문제지만 갖고 와서 포스팅 했습니다.

다음에 다른 문제도 보이면 추가할게요 :-)

경우의 수 길찾기 입체 - 2024 한양대 논술 자연계 오후 1, 문제1

한량 지아이 — Thu, 21 Nov 2024 23:58:30 +0900

최근 한양대 논술 기출 문제를 쭉 살펴보다, 경우의 수 입체 문제가 나왔길래 갖고 와봤습니다.

2024 한양대 자연계열 논술(오후1) 문제1

아래 그림은 크기가 같은 정육면체 25개를 가로로 5개, 세로로 5개씩 쌓아 만든 직육면체이다. 정육면체의 모서리를 따라 꼭짓점 P에서 꼭짓점 Q까지 최단거리로 이동할 때, 색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나지 않고 이동하는 경우의 수를 구하시오.

길찾기는 같은 것이 있는 순열로 푸는데, 이건 입체이므로 문자가 3개 필요합니다.

오른쪽을 R, 위를 U, 입체가 되기 위해 옆으로 한 칸 이동하는 걸 V라고 둘게요.

큰 구조는 다 전체 - 색칠한 부분을 지나는 경우를 제외할 겁니다.

Sol1) 평면으로 생각하고 나열한 다음, 입체가 되는 지점 끼워넣기.

우선 평면이라 생각하고 경우를 센 다음, P가 포함된 평면과 Q가 포함된 평면을 이어줄 구간이 어디인지 정하면 됩니다.

Sol2) 방법은 동일한데 입체를 직접 세서 뺌

(전체) - (색칠한 입체를 지나는 경우)

= (11! / 5!5!) - (42+120+24+100) = 2486

이게 오히려 직관적이긴 하네요. 어차피 EFGH로는 ABCD를 지나지 않고서는 갈 수 없으니 분류를 이렇게만 해줘도 충분한 것 같습니다.

중3 원주각 ㅡ 호 문제

한량 지아이 — Mon, 18 Nov 2024 22:33:29 +0900

오늘 외부라 자료업로드라 생각하고 가볍게 올리는 포스팅입니다.

중3 교과서에서 본 듯한데..
꽤나 재밌어서 올려보는 기출문제입니다.

원주각에 해당하는 호를 직접 다 그어봤어요.
한 호가 네 번씩 포함돼서 원주각 180 * 4 = 720

나중에 일반화 해봐도 좋을 듯ㅎㅎ

[중1-2] 고난도 문제 - 합동, 부채꼴 2제

한량 지아이 — Sun, 17 Nov 2024 23:56:38 +0900

중 1-2 문제를 풀다가, 풀이가 매우 간단한데 어려운 문제를 발견하여 기록하고자 남깁니다.

음.. 그러니까 쉬운 킬러문제? 같은 느낌이려나요-

<문제1>

풀이는 아래 단계를 순서대로 따라가시면 됩니다.

평행선 엇각/맞꼭지각, 이등변 삼각형 밑각 서로 같음, 삼각형 외각의 합, 부채꼴과 중심각의 비례 관계까지 알차게 섞여있는 문제네요.

<문제2>

문제와 풀이는 더 추가될 수 있습니다.

삼차함수와 접선이 만나는 넓이 공식으로 바로 구하는 연습

한량 지아이 — Sat, 16 Nov 2024 23:56:26 +0900

정적분의 넓이 공식을 배운 제자가,

삼차함수와 접선이 만나는 넓이 공식을 좀 더 연습하고 싶다고 요청하여 문제 업로드 합니다.

<문제1>

세 근이 1, 1, -2이므로 근의 차는 3

따라서 공식을 사용하면 81/12 = 27/4

정답 : 27/4

<문제2>

세 근이 0. 0, 3 이므로 근의 차는 3

따라서 공식을 사용하면 81/12 = 27/4

정답 : 27/4

<문제3>

세 근이 -3, -3, 3이므로 근의 차는 6

공식을 사용하면 1296/12 = 108

정답 : 108

<문제4>

세 근이 t, t, -2t 이므로 근의 차는 4t

공식을 사용하면 (256t^4)/12 = 4/3이므로 t=2

만약 이 공식을 모른다면?

[필수암기] 정적분 넓이 공식 (이차함수, 삼차함수 접선)

정적분 넓이 공식 (이차함수 근, 삼차함수 중근) 오늘은 굉장히 자주 사용되지만, 증명하기에 너무 오래 걸리기 때문에 반드시 외워야하는 적분 넓이 공식 두 가지를 살펴보려고 합니다. 첫번째

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아래 포스팅을 반드시 보고 복습하세요. 이 문제는 공식을 쓰지 않으면, 꽤 오래 걸리기 때문에 내신 대비전에 반드시 익히고 가시는 걸 추천합니다.

[집합] 대칭차집합의 여집합 성질 정리

한량 지아이 — Fri, 15 Nov 2024 21:56:12 +0900

오늘은 종종 등장하는 대칭차집합의 여집합의 성질도 한 번 정리해보겠습니다.

혹시 대칭차집합이 뭔지 모르시거나,

대칭차집합의 성질도 잘 정리가 안되어있다면?

아래 포스팅을 보고 먼저 학습한 다음, 오늘 포스팅을 보길 추천해요.!

대칭차집합 총정리 - 정의, 성질, 문제풀이

대칭차집합은 학교 시험에 굉장히 자주 등장하므로 한 번은 다루고 넘어가는 편이 좋습니다. 아무래도 테마로 익히고 나면, 문제 푸는 시간이 단축이 되니까요. 사실 용어 자체를 모른다고 하더

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대칭차집합의 여집합의 성질들을 가볍게 정리해볼게요.

우선 이걸 쓸 때 특별한 기호는 없지만, 편의를 위해 저는 그냥 *라는 기호를 써보도록 할게요.

오늘 정리할 성질은 아래의 여섯가지입니다.

증명은 이전에 대칭차집합 했던 것과 동일하게, 직접 벤다이어그램을 그려보시거나, 아니면 집합의 연산법칙을 이용해서 증명하셔도 됩니다. :-)

전체 증명은.. 제 손목이 낫고 나면 하겠습니닷.. 작성하다보니 신호가 또 오는군요.. 흑흑..ㅠㅠ

문제는 나중에 발견 하는 대로 추가 하겠습니다.

고등학생 추천 수학도서 - 페르마의 마지막 정리 (추천 이유 및 감상문)

한량 지아이 — Thu, 14 Nov 2024 23:54:14 +0900

오늘은 고등학생 수학 추천 도서로 자주 언급되는 페르마의 마지막 정리에 대한 글을 써볼까 합니다. 직접 읽어봤는데 확실히 이 책은 매우 좋더라고요. 카이스트 정재승 교수님께서 우리 시대 젊은이들에게 단 한 권의 수학책을 추천해야 한다면 단연 이 책을 권하겠다고 추천사를 쓰신 이유를 알겠어요.

다만 고등학생 입장에서 내용을 온전히 다 이해하기는 어려운 책입니다. 그래서 독후감을 쓰실 때는 모든 수학적 내용을 완벽하게 이해하지는 못했더라도 이 책을 통해 수학의 매력을 느꼈다 혹은 수학자들의 열정을 배울 수 있었다-라는 식으로 써야 합니다. 가끔 책을 발췌해서 읽고 독후감 쓰는 친구들이 꽤 있는데, 이 책은 전체적인 시나리오가 다 이어지는 책이어서.. 이왕이면 오랜시간 들여 직접 완독하는 걸 추천해요.

내용이 충실해서 읽다보면 수학에 대한 전체적인 흥미도 올라가고, 깊이 있는 학습을 위한 동기부여가 되는 책이죠.

페르마의 마지막 정리는 어떤 책인가?

사이먼 싱이 쓴 책으로, 17세기에 처음 제시된 이후 오랜 기간 동안 해결되지 못했던 난제 중 하나인 '페르마의 정리'에 대한 내용입니다. 그렇다고 앤드류 와일스 자서전..까지는 아니고 페르마의 정리를 소재로 수학적인 소재들을 꽤나 다양하게 소개해주면서 이 정리가 어떻게 증명 되었는가?!를 보여주는 책이죠.

저자 : 사이먼 싱

말 그대로 수학적인 여정을 다룬다고 보시면 됩니다. 수학의 아름다움과 창의성을 알리는 데에 중점을 두고 있습니다.

이 책을 추천하는 이유

위는 책 맨 앞에 있는 정재승 교수님의 추천사입니다.

[수학에 흥미를 느끼는 가장 좋은 방법은 수학을 '숫자의 학문'이 아니라 '수의 세계를 이해하려는 수학자들의 역사'로 이해하는 것이다.]

여러모로 공감이 갑니다. 제가 대학 4학년 때 수학사를 배웠을 때, 딱 이런 느낌이었어요. 학생들에게도 소위 말하는 수학자들의 '썰'을 몇 개 풀어줄 때가 있는데, 확실히 재밌어하는 게 보이더라고요.

페르마의 마지막 정리 목차입니다.

1. 앤드류 와일즈의 노오력에 관한 이야기

앤드류 와일즈가 페르마의 정리를 해결하기 위해 얼마나 노력했는지 잘 기록되어 있습니다. 즉 똑똑한 수학자라고 그냥 바로 수학 문제를 푸는 것이 아닌, 수학에 대한 열정과 인내를 갖고 노력하는 게 얼마나 중요한지를 보여주죠.

2. 다양한 수학적 개념이 꽤 여럿 나옴.

이 책을 읽다보면, 다양한 수학적 지식들이 나옵니다. (정수론, 귀류법 등등) 이게 뭐 꼭 페르마의 정리와 완전 연관이 된다..고 보기보다는 수학의 역사를 따라 쭈욱-배경지식부터 설명하고 있어서 고등학생 정도 되면 이해할 수 있는 내용들도 꽤 있어요. 저는 수학사를 따라 배우는 느낌이어서 정말 재밌게 봤답니다.

페르마의 마지막 정리 - 고등학생들에게는 어려울 수 있는 부분들

개인적으로 이 책을 맨 처음 읽었을 때, 이건 수학을 전공하는 대학생들에게 추천해줄만한 책이라고 생각했었어요. 왜냐면 대학 수준의 수학 개념들이 꽤나 많이 들어 있기 때문입니다. 그런 내용들도 따로 정리해봤어요.

1. 정수론의 고급 개념들
: 페르마의 정리 자체가 정수론 문제죠. 그런데 요즘의 고등학교 교육과정에서는 기본적인 정수론 개념조차 배우지 않기 때문에, 문제 해결 과정에서 사용된 고급 정수론 개념들은 어렵게 느껴질 수 있습니다. 모듈러 형식이나 엘립틱 곡선 같은 주제는 아무래도 어렵죠.

다만 간단한 정수론에 대한 내용들은 책을 읽고 궁금해서 따로 찾아봤다는 식으로 정수론 탐구 보고서를 쓰셔도 좋을 듯 합니다. 중국인의 나머지 정리나 유클리드 나머지 정리, 모듈러 연산 같은 경우는 고등학생들도 조금만 공부하면 이해할 수 있는 내용들이에요.

2. 복소해석학
고등학교에서는 기본적인 복소수만 배우는데, 책에서 나오는 복소해석학 부분은 훨씬 더 깊은 이해를 요구합니다. 극좌표, 복소평면 정도까지는 역시나 쉬우니까 해볼만 하지만 ~~그 이상은 역시나 고등학생 정도라면 무리데스~~..

3. 현대대수학 - 갈루아 이론
갈루아 이론은 다항식의 해를 다루는 수학 이론으로, 고등학교 수준의 수학을 초과하는 개념이죠. 전 대학교 3학년때 배웠답니닷.. 뭐 그런데 사실 이게 뭔지에 대한 큰 틀 정도는 알아 들을 수 있어요. 적어도 복소수보다 더 큰 수체계는 없다는 점과 삼사차 방정식의 일반해는 있지만, 오차방정식 이상은 일반해가 없다는 정도만 알아도 굿!

그래서 이 책을 고등학생이 읽을 때는?!

1. 전체적인 이야기와 역사 : 어려운 수학적 개념을 완전히 이해는 못하더라도, 전체적인 이야기와 수학적 문제 해결과정, 역사적 배경 등을 이해하는데 집중하는 편이 좋습니다.

2. 수학의 도전과 열정 : 책의 핵심 메시지죠. 수학자들이 어려운 문제에 도전하고 해결하는 과정에서 보여주는 열정과 끈기..!! 이 부분을 중점적으로 읽으면 큰 영감을 받을 수 있습니다.

3. 용어와 개념 정리 : 모르는 용어나 개념이 나오면 간단히 조사하여, 이해의 폭을 넓히는 것도 좋습니다. 이를 통해 수학적 배경지식을 조금씩 늘려가는거죠!

모든 수학적인 내용을 다 이해하려 하기 보다는 요 정도에 집중하는 편이 좋습니다.

동영상 서비스가 종료되어 해당 콘텐츠를 재생할 수 없습니다.

책 전체적으로 어떤 느낌인지 보시라고 동영상 찍어봤어요. 꽤나 두껍지만 매우 즐겁게 읽을 수 있습니다. 중간에 수학자들의 사진이나 그림이 있는 것도 전 재밌더라고요.ㅎㅎ

제가 이 책을 추천하는 이유는 '수학은 단순히 공식을 배우는 학문'이 아니라는 것, 문제 해결의 즐거움 + 노력 끝에 얻는 성취감을 같이 알았으면-하는 마음도 있습니다. 아무튼 한 번쯤은 시간을 들여 완독할만한 가치가 있는 책이니 꼭 읽어보시길 바라며 포스팅 마무리하겠습니다.

무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계 - 반드시 그래프 그려야 하는 이유

한량 지아이 — Wed, 13 Nov 2024 21:55:33 +0900

제 경험상, 대부분의 학생이 그래프 그리는 것을 별로 좋아하지 않더라고요. (특히 문과 성향이면 거의 95%..)

그러나 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계는 반드시 그래프를 그려서 풀어야 하는 문제입니다.

우선 대표적인 예시 풀어보고,

왜 방정식으로만 풀면 안되는지도, 가볍게 설명을 해볼게요.

<대표문제>

이 문제는 반드시 먼저 풀어본 다음 풀이를 봐주세요.

정답이 얼마가 나왔나요?

만약 정답이 -2≤m≤1이라고 나왔다면 높은 확률로 아마 그래프 안 그리고, 판별식만 이용해서 푸셨을 겁니다.

이 문제의 올바른 풀이는 아래와 같습니다.

무리함수, 직선 둘 다 그래프로 그려서, 교점이 있도록 기울기를 설정해주시면 됩니다.

처음부터 바로 계산에 들어가지 말고, 위와 같이 m1, m2를 기준으로 답의 형태를 먼저 정하시는 걸 추천드립니다. (객관식의 경우에는 운 좋게 여기서 바로 답이 결정되는 경우도 있어요.)

제 풀이에 판별식은 등장하지만, 만난다고 하여 부등식을 쓰지는 않습니다. 이게 오늘 포스팅을 작성하는 가장 핵심적인 이유죠.

쌤~ 귀찮은데 그냥 그래프 안 그리고, 이차방정식 판별식으로 바로 풀면 안되나요?

네. 절대 안됩니다.

왜 안되느냐?

방정식을 풀기 위해 제곱하는 과정에서 무연근이 나오기 때문이죠.

음.. 무연근이라는 용어가 어색할 수 있는데, 구한 답이 해가 아닐 수 있단 얘기입니다.

아래 방정식을 한 번 보시고 어디서 잘못 되었는지 한 번 생각해보세요.

분명 이차방정식을 풀었을 때는 해가 1, 4 두 개가 나오는데, 이 걸 원래의 식에 다시 대입해보면, 답이 하나만 나옵니다. 왜 그럴까요?

그건 바로 식을 제곱하는 과정에서 나옵니다. 우리가 양변을 제곱할 때, 제곱해서 x가 나오는 식은 두 개가 있기 때문이죠. 그래서 그래프로 본다면, 원래는 √x=x의 해만 구해야 하는 걸, -√x=x의 해까지 같이 구해버린 것입니다.

나온 답을 다 일일이 대입해보지 말고 이걸 어떻게 판단하느냐?

그래서 그래프를 그려야 하는 것이죠!

그럼 다시 돌아가서..

제가 대표문제에서 나온 기울기 2개 중, -2는 그래프상 양수가 나와야 하는데 음수라 그냥 지웠다고 치고, 이 숫자는 왜 나온 걸까요?

이것 역시 두 무리함수와 직선을 연립했기 때문이죠.

즉, 파란 그래프와 직선이 접하는 부분의 기울기가 -2인 것입니다.

기억해야 할 점

1. 무리함수와 직선의 위치관계는 반드시 그래프를 그려서 푼다.

2. 이차방정식의 판별식은 D=0인 경우만 사용한다.(부등식 사용 금지)

원래는 문제를 여러개 실을 생각이었는데, 그러니 자꾸 미뤄져서리.. 문항수는 나중에 좀 더 추가하도록 하겠습니다.

[원주각] 중3 기말 대비 문제풀이

한량 지아이 — Tue, 12 Nov 2024 23:36:08 +0900

중3 기말 대비용으로 원주각 문제 풀이 올립니다.

오늘 주어진 문제는 하나지만,

앞으로 계속 추가 될 수 있습니다. :-)

<문제>

정답 : 34

풀이는 아래와 같습니다.

대칭성을 이용하여 푸는 방법인데,

개수가 짝수개로 완벽히 맞기 보다는

중간에 l8이 하나 뜨고,

l16은 그 자체로 4이기 때문에,

무조건 더하기 보다는

약간은 생각을 하셔야 합니다.

제가 사용한 방법은 나중에 고2 때 배울 등차수열의 합을 유도할 때도 그대로 나오니 이 참에 한 번 눈에 익히고 가시는 편도 좋을 것 같네요.

여러분의 기말고사를 응원합니다.

통계 - 분산 제평평제 (제곱의 평균)-(평균의 제곱) 연습문제

한량 지아이 — Mon, 11 Nov 2024 23:32:07 +0900

오늘은 저번에 배웠던 분산 중 제평평제를 이용한 간단한 문제풀이를 해보겠습니다.

개념 내용이 기억 안 나신다면, 아래 포스팅을 다시 정독하고 오세요!

[중3 통계] 분산 (제곱의 평균) - (평균의 제곱) 증명 및 활용법

분산이란?편차 제곱의 평균입니다. 그런데 이 정의만 갖고 문제를 풀다보면 꽤 오래 걸리는 경우가 있습니다.그래서 다른 방법도 하나 추가로 알려 드리려고 합니다.분산은 (제곱의 평균) - (평

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<문제>

지난번에 배운 공식을 이용하면 아래와 같이 빠르게 풀립니다.

물론 공식을 쓰는 것 말고

분산의 정의인 편차 제곱의 평균을 이용해서 풀수도 있습니다.

선생님께서 분산이 제평평제인걸 알려주지 않으셨다면,

서술형의 경우에는 이렇게 푸셔야겠죠?

따라서 풀이는 두 가지 모두 다 알아두시는 편이 좋습니다. :-)

다른 문제에서도 두 가지 풀이 모두 다 가능합니다. 나중에 좋은 문제가 생기면 추가해보도록 할게요!

[문풀] 2022년 2023 수능 #22

한량 지아이 — Sun, 10 Nov 2024 23:53:55 +0900

이제부터는 한 문제씩이라도 문제 풀이를 같이 올려볼까 합니다.
한 번에 모아서 올리려니 양이 많아서 계속 미루게 되네요. -ㅅ-;

그래야 뭐 나중에 풀이를 추가하거나, 강의를 찍거나 할 수도 있을 것 같아요.

2022년 시행 2023 수능 #22번입니다.
객관식 마지막 번호로, 해석이 상당히 어렵고,
그래프를 그린 이후에 식 세워서 답을 찾는 과정까지도 다 해보셔야 합니다.

먼저 문제 (가)조건을 봤을 때

f'(x)가 최고차항의 계수가 3인 이차함수라는 것 말고는, 당장은 뭘 더 할 수 있는게 없으니 (나)조건도 살펴보죠.

이제 그래프는 다 완료가 되었군요. 식을 세워서 마무리까지 해봅시다.

저는 평소에 접선을 이용해서 식을 세우는 편이라 이대로 해봤는데 계수가 분수가 나와서 약간의 짜증이..올라오더군요.

뭐, 최고차 계수와 변곡점을 아는데다, f의 함숫값을 아니까.. 아래와 같이 바로 세워서 풀어도 됩니다.

이 문제는 해석이 좀 어려운 편이지만, 생각할 거리를 많이 주는 좋은 문제에요. 역시 수능문제.!

[고1 함수] 일반적으로 정의된 함수 문제

한량 지아이 — Sat, 9 Nov 2024 21:55:23 +0900

딱히 어떤 함수라고 주어지지 않은 상태에서 정의된 함수 f(x)를 다루는 문제 몇 가지를 풀어보겠습니다.

이런 경우에는 정말 주어진 함수의 성질을 이용해서 유도하여 풀었습니다.

[예제]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 모든 실수 x,y에 대하여 f(x+y) = f(x) + f(y)를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보기>
ㄱ. f(-x)=-f(x)
ㄴ. 임의의 자연수 n에 대하여 f(nx)=nf(x)이다.
ㄷ. 임의의 양의 유리수 p에 대하여 f(px)=pf(x)이다.

정답 : ㄱ, ㄴ, ㄷ

[예제2]
실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 함수 f(x)가 임의의 두 실수 a, b에 대하여
f(a+b)f(a-b) ≤ {f(a)}² - {f(b)}²
을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보기>
ㄱ. f(0)=0
ㄴ. 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)이다.
ㄷ. 모든 실수 x에 대하여 f(x+1)f(x-1)= {f(x)}² - {f(1)}²

정답 : ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄴ,ㄷ은 아래와 같이 식에 적절한 문자를 대입해서 유도하시면 됩니다.!

ㄴ (a,b)에 (0,x) (0,-x)를 대입후 연립

ㄷ은 (a,b)에 (x,1), (1,x)를 대입후 연립

이 정도를 익힌 다음에는 아래의 함수 방정식 문제도 풀어보시는 걸 추천합니다.

고1이 풀만한 함수방정식 문제 (연립방정식으로 풀이)

오늘은 고1이 풀어볼만한 함수방정식을 몇 개 갖고 와봤습니다. 함수방정식은 함수 자체를 근으로 하는 방정식을 말합니다. 얼핏 보기엔 굉장히 힘들어 보이지만, 푸는 방식은 연립방정식과 비

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[중3 통계] 분산 (제곱의 평균) - (평균의 제곱) 증명 및 활용법

한량 지아이 — Fri, 8 Nov 2024 23:43:20 +0900

분산이란?

편차 제곱의 평균입니다.

그런데 이 정의만 갖고 문제를 풀다보면 꽤 오래 걸리는 경우가 있습니다.

그래서 다른 방법도 하나 추가로 알려 드리려고 합니다.

분산은 (제곱의 평균) - (평균의 제곱)이기도 합니다.

이건 보통 고등학교 때 배우는 식인데.. 고난도 문제를 풀다보니 이걸 그냥 증명을 해서 쓰는 게 낫겠단 생각이 들더군요.

그래서 아래에 증명을 해보고..! 단계별로 이걸 이용하여 문제를 푸는 포스팅도 이어서 해볼까 합니다.

참고로 여기에 쓰이는 기호는 모두 고등학교 때도 그대로 쓰는 기호이고, 오늘 증명하는 이 공식도 고3때까지 쭉 쓰이니 이 참에 알아두시는 게 좋겠죠?

분산 = 제곱의 평균 - 평균의 제곱 증명

(σ는 표준편차입니다.)

분산은 (제곱의 평균) - (평균의 제곱) = 줄여서 제평평제라고 외우셔도 됩니다.

다음에는 이 공식을 이용하여 쉽게 고난도 문제를 풀어볼게요.!

[원과 직선] 꿀팁 - 내접원의 길이 비

한량 지아이 — Thu, 7 Nov 2024 17:49:20 +0900

중3 내신에서 사용할 수 있는 유용한 꿀팁을 하나 알려 드리겠습니다.

증명 다 한 다음, 예제 풀고 정리해드릴테니,

여러분은 이해한 다음 공식을 외워서

빠르고 편하게 문제를 풀면 되겠죠?

아래 그림과 같이 두 원 P, Q는 서로 외접하고 동시에 지름의 길이가 R인 반원 O에 내접합니다. 접하는 세 원들의 반지름 길이비를 구해볼게요.

원끼리 반지름이 반, 반의반.. 뭐 이렇게 간다고 외우셔도 됩니다.

이제 증명 해볼게요.

원P의 지름 = 원O의 반지름이므로,

비율이 2:1이 되는 것은 쉽게 알 수 있습니다.

작은원 Q의 반지름을 r, 큰 원 O의 반지름을 R이라고 두고, 중심끼리 연결한 보조선과 접선에 내린 수선의 발을 같이 그려줍니다. 이 과정은 원을 보면 항상 해봐야 하죠.

그리고 가장 큰 원 O의 중심과 가장 작은 원 Q의 중심도 연결해줍니다. 그림에서 보이는 빨간 형광펜 선이죠.

원 안에 다 그리자니 복잡하군요. 그래서 삼각형 POQ만 따로 모양을 관찰하려고 아래와 같이 가져 왔습니다.

Q에서 선분 PO에 수선의 발을 내리면 각각 노란색, 빨간색 직각삼각형이 나오니, 이 둘의 공통변을 이용하여 식을 정리해줍니다.

결론 : 큰 원의 반지름 R = 가장 작은 원 반지름 r의 4배

정리하자면 이렇죠.

이제 문제를 풀어볼까요?

예제

아래 그림과 같이 두 원 P, Q는 서로 외접하고 동시에 지름의 길이가 20인 반원 O에 내접한다. 이 때 원Q의 둘레의 길이를 구하여라.

정답 : Q의 반지름은 5/2이므로 둘레의 길이는 5π

다음에도 좋은 꿀팁 있으면 갖고 오겠습니다 :-)

티스토리 작심삼주 오블완 챌린지 참석 예정..!

한량 지아이 — Fri, 1 Nov 2024 17:29:20 +0900

티스토리에서도 블로그 매일 쓰기 챌린지를 하는군요.

이런거 티스토리에서는 처음인..거 같은데 말입니다.

자세한 안내가 궁금하신 분들은 아래 링크를 확인해보시고요..!

이걸 올리는 이유는 소소하게나마 저도 참석할 예정이기 때문이죠.

그 동안 티스토리 업뎃이 상당히 뜸했는데..

아무래도 잘 쓴 글을 정제해서 올려야겠다는 압박이 심해서 점점 업로드가 더뎌지게 된 듯 합니다.

https://www.tistory.com/event/write-challenge-2024

작심삼주 오블완 챌린지

오늘 블로그 완료! 21일 동안 매일 블로그에 글 쓰고 글력을 키워보세요.

www.tistory.com

사실 개인적으로 몇 명 추첨..! 이런식으로 선정하는 이벤트에는 거의 참석하지 않는 편인데,

그나마 이게 글 쓰는 동기를 부여해줄 수 있지 않을까 싶어, 스티커라도 받을겸 우선 참석 하려구요.

앞으로는 포스팅의 양이나 내용이 적더라도 꾸준히 업로드 해보겠다는 마인드로 도전!!을 외치며 참석해보려고요.

솔직히 지금 임시저장 포스팅이 46개여서.. 밀렸던 것만 다 써도 3주는 금방 컨텐츠 걱정 없이 채울 수 있지 않을까? 하는 생각도 드는 군요.

아무튼 이걸 계기로 좀 더 티스토리에도 공을 쏟아서 10분의 1토막 난 애드센스 수익이 조속히 회복되었으면 하는 바람입니다.

~~역시나 수익이 급감하니 재미가 없어졌다는 게 정설이려나~~...

중3 삼각비 - 넓이로 푸는 문제 모음

한량 지아이 — Sun, 29 Sep 2024 21:06:19 +0900

보통 삼각비의 값을 물어보면 수선의 발을 내려 직각 삼각형을 이용해서 구합니다.

그렇지만 직각을 그리기 힘들거나 할 경우엔,

넓이를 이용하면 좀 더 쉬운 문제들도 있어요.

아래 문제들은 시험보기 전에 풀어보면 많은 도움이 될 것입니다.

문제와 풀이는 추후 업데이트 될 수 있습니다.

문제1

아래 그림의 정사각형 ABCD에서

점 M, N이 각각 BC, CD의 중점이고

∠MAN=x라 할 때, sinx의 값을 구하여라.

정답 : 3/5

문제2

아래 그림과 같이 직각삼각형 ABC에서

∠C=90º, BC=CD=AD=5이고

∠ABD=x일 때, sinx와 cosx의 곱을 구하여라.

정답 : 3/10

문제3

∠A=90º인 직각삼각형 ABC에서

AB위의 점 D에 대해

AD:DB=2:1, ∠ADC=60º가 성립한다.

∠DCB=xº라 할 때, sinxº의 값은?

정답 : √7 / 14

문제4

그림과 같이 BD=CD인 직각삼각형 ABC에서

∠CAD=x, ∠BAD=y라고 하자.

AC:AB=3:5일 때, sinx:siny를 구하면?

정답 : 5:3

문제5

그림과 같이 직각삼각형 ABC에서

BD=CD=6이고,

∠CAD=xº, ∠BAD=yº,

sinxº=1/3일 때, cos yº 의 값은?

2024 반곡중 #23 추가해야함.

고등학생 추천 영화 : 마션 (The Martian) - 수학과 과학의 매력을 알려주는 영화

한량 지아이 — Thu, 20 Jun 2024 16:01:23 +0900

가르치는 학생의 추천으로 얼마전 마션을 봤습니다. 정말 재밌더군요.!

보면서 이 영화는 단순 SF 영화가 아니라, 수학과 과학의 매력을 알려주는 영화라는 생각이 들었습니다.

그래서 이 영화를 추천하며, 학교에서 배우는 수학과 과학 원리가 어떻게 적용되었는지를 함께 소개하는 포스팅을 해볼까 합니다. (아마 제 블로그에서 이 글을 보시는 여러분들은 그런 점이 궁금해서 오시지 않았을까..? 싶어서요.ㅎㅎ)

영화 소개

'마션'은 리들리 스콧 감독이 연출하고, 맷 데이먼이 주연을 맡은 영화로, 화성에 홀로 남겨진 우주 비행사 마크 와트니의 생존 이야기를 그립니다. 앤디 위어의 동명 소설을 원작으로 하고 있으며, 철저한 과학적 고증과 사실적 묘사로 많은 사람들에게 사랑받고 있죠.

한국에서의 관객수는 약 490만명이며, 영화는 144분으로 꽤나 긴 편이지만, 체감상 길게 느껴지지는 않았습니다. 그만큼 재밌게 잘 만들었단 얘기죠. :-)

제목인 마션에서 Mars는 화성, -ian은 사람을 뜻하는 접미어입니다. 직역하자면 화성인..?정도랄까요? 영어 그대로 마션이라고 개봉한 게 참 잘 한 것(?) 같단 생각이 듭니다.

아래는 제가 생각하는 이 영화의 추천 포인트들입니다.

추천 포인트1 : 과학적 사실성, 현실성을 다룬다.

'마션'은 꽤나 최근에 만들어진 SF 영화다 보니, 단순 상상이 아닌 과학적 사실에 기반한 내용들이 기초가 됩니다.

주인공 마크 와트니는 화성에서 생존하기 위해 여러 과학적 방법을 동원하죠.

와트니는 감자를 재배하기 위해 화성의 토양을 개량하고, 이를 통해 필요한 식량을 확보합니다. 이 과정에서 화학, 생물학 등 다양한 과학적 원리가 적용됩니다.

식물학 : 화성에서의 감자 재배 + 화학: 이산화탄소를 산소로 바꾸고 물 생성

영화 마션 스틸컷

화성의 극한 환경에서 생존하기 위해 와트니는 다음과 같은 방법들을 사용합니다.

1. 토양 개량
- 화성의 토양은 지구의 토양과 달리 유기물이 부족합니다. 와트니는 인간의 배설물(인분)을 이용해 화성의 토양을 개량합니다. 이는 유기물을 추가해 토양의 비옥도를 높이는 과정으로, 실제로도 농업에서 사용하는 방법입니다.
* 인분은 질소, 인, 칼륨 등의 필수 영양소를 제공해 식물이 성장할 수 있는 환경을 만들어줍니다.

2. 물 확보
- 화성에는 액체 상태의 물이 거의 없습니다. 와트니는 연료로 사용되는 하이드라진(Hydrazine, N2H4)을 분해하여 수소를 얻고, 이를 산소와 결합시켜 물(H2O)을 만듭니다. 화학적 반응을 이용해 물을 생성하는 과정이죠.

: 이렇게 생존에 필요한 물도 확보하고, 감자도 재배하죠. 한 번에 성공하는 것이 아니고 중간에 한 번 실패하고 재도전하는 장면이 있어서, 오히려 더 진짜로 있을 법한 일이라는 생각이 들었어요.

3. 광합성을 통한 산소 생성.
- 와트니는 감자가 광합성을 통해 산소를 생산하도록 하여 폐쇄된 환경 내에서의 산소 농도를 유지합니다. 감자는 광합성을 통해 이산화탄소(CO2)와 물(H2O)을 사용하여 산소(O2)와 포도당(C6H12O6)을 생산합니다.

아, 찾아보니 실제 나사에서도 화성에서 감자 생산이 가능한지 실험을 했었다고 하네요. 이 부분은 관련 유튜브를 찾아 보셔도 재밌게 볼 수 있습니다.!

추천 포인트2 : 수학적 사고의 중요성

와트니는 화성에서 생존하기 위해 제한된 자원과 환경 속에서 끊임없이 계산하고 계획합니다. 그의 생존 전략 자체가 수학적 사고라고 볼 수 있죠.

계산과 예측(남은 자원으로 생존 가능 일수를 계산) + 최적화

1. 감자의 수확량/ 물의 소비량 계산.
- 화성에서 재배한 감자의 수확량을 계산하고, 자신이 매일 어느 정도의 칼로리를 소비하는지를 바탕으로 필요한 감자의 양을 산출합니다.
- 자신의 생존에 필요한 물의 양을 계산합니다. 매일 얼마나 많은 물을 마셔야 하는지, 식물에게 줄 물의 양은 얼마나 되는지를 계산하여 남은 물의 양을 최적화합니다.

: 영화 중간에 오늘 먹을 양은 이만큼이야~라며 보여주는 양이 굉장히 적어서.. 아 저게 진정한 강제 단식인가..하는 생각이 스쳐 지나갔습니다...

2. 식량 최적화
   - 감자의 수확량을 최대화하기 위해 토양의 비옥도를 계산하고, 물과 비료를 적절히 배분합니다. 제한된 자원을 사용하여 최대한 많은 식량을 생산하는 방법을 찾아내죠.
   - 이 과정은 자원 배분 문제로, 제한된 자원(물, 비료 등)을 사용하여 최대의 결과(감자 수확)를 얻는 최적화 문제로 설명할 수 있습니다. 고1에서 일차 부등식에서 종종 다루는 문제죠.

3. 생존 일수 계산
   - 와트니는 남은 자원을 바탕으로 자신이 생존할 수 있는 일수를 계산합니다. 그는 매일 소비되는 자원의 양과 남은 자원의 양을 비교하여 생존 가능 일수를 추정합니다.
: 이건 지구에 남아있는 나사 직원들도 같이 하죠.

이러한 과정들은 와트니가 생존하기 위해 수학적 사고를 어떻게 활용했는지를 잘 보여줍니다. 수학적 계산과 예측, 최적화 문제는 실제 생활에서의 문제 해결에 필수적인데.. 이 부분이 현 교육과정에서는 많이 삭제돼서 조금 아쉽습니다. 부등식의 영역 같은 단원이 다시 들어가야 더 재밌는 문제를 많이 풀 수 있는데 말이죠.

추천 포인트3 : 문제 해결 능력과 창의적 사고

전 이 영화를 보면서 '와 저게 찐으로 창의적 문제 해결 방법이다'라는 걸 많이 느꼈어요.

위에서 언급한 감자 재배, 수분 공급 모두 이에 해당하죠.

그렇지만 사실 가장 큰 감동은 와트니의 도전 정신이었습니다.

1. 절망 속에서도 희망 찾기
와트니는 처음에 혼자 남겨졌을 때 절망했지만, 이내 상황을 받아들이고 생존 계획을 세웁니다. 그는 매일 일기를 작성하며 자신의 감정과 상황을 기록하죠.

2. 끊임없는 도전과 개선
와트니는 여러 번 실패를 경험하지만, 그때마다 원인을 분석하고 개선점을 찾아내어 재도전합니다. 처음에는 실패했던 물 생성 실험도 여러 차례의 시도 끝에 성공하게 되죠. 실패할지라도 계속 도전하는 자세가 중요하다는 거..!

3. 팀워크와 협력
와트니는 지구의 NASA 팀과 화성 탐사대 동료들의 도움을 받으며, 끊임없이 정보를 공유하고 협력합니다. 와트니가 혼자 어느 정도 생존한 건 대단한 점이 맞지만, 모든 걸 다 알지는 못하니까요. 지구와의 통신을 복구하고 팀과 협력하여 구조 계획을 세우는 과정도 재밌었어요.

이 영화를 보는 내내 저 정도 인재는 되어야 화성에 가는 구나-라는 생각이 들었습니다.

실제 가능성과 과학적 논의

제가 이 영화를 추천하며 꽤나 과학적인 영화라는 표현을 썼지만, 영화적 연출을 위해 과장된 부분도 꽤 있습니다.

쉬운 예로 화성 폭풍은 실제로는 영화에서 묘사된 것처럼 강력하지 않다던가, 화성 표면에서 작업할 때 비교적 가벼운 복장으로 다닌다거나, 포스터에 나온 것처럼 화성에서의 노을이 붉은색이라거나... 이런 것들은 잘못된 것들이긴 하죠.

위에서 언급한 감자 재배 환경이라거나, 하이드라진을 이용한 물 생성도 조금 더 엄밀히 실제 현실로 갖고 오면 영화처럼 간단하게 할 수 있는 것들은 아닙니다.

이런 과학적 고증을 해보는 걸 실제로 조사해보고 현실과의 차이를 비교 분석해보셔도 좋을 것 같네요.!

아무튼 전 이 영화에서 상당히 많은 걸 배울 수 있다고 생각합니다. 이미 나온지 좀 된 영화라 유튜브에서 찾아볼 것들이 많은 것도 즐겁더라고요.

그리고 제게 이 영화를 추천해준 제자는 영화보다 책이 훨씬 재밌다고 하더군요. 그래서 저는 영화부터 보고 책을 읽기로 했습니다. 영화는 봤으니 이제 조만간 책을 읽을 예정입니다. 다 보고 나면 언제가 될지는 모르지만(?) 독후감도 써보도록 할게요.

그럼 다음에도 유용한 포스팅을 갖고 오겠습니다.

안녕!

극한 근사 - 사인법칙, 문제 풀이 (20년 6월 28번, 21년 9월 28번)

한량 지아이 — Fri, 31 May 2024 15:46:02 +0900

θ가 0으로 갈 때의 극한을 아래와 같이 근사시키면 문제를 쉽게 풀 수 있습니다.

직각 삼각형은 부채꼴로 근사시켜서 풀 수 있고, sinθ의 경우도 θ로 근사시켜서 풀 수 있죠.

삼각형의 세 변의 길이는 사인법칙에 의해 대각의 사인비로 결정이 되므로, 이를 이용하시면 상당히 쉽게 풀린답니다 :-)

실제로 문제를 풀면서 익혀볼까요?

정석 풀이는 해설지에 다 있을테니, 저는 사인 근사로만 풀어볼게요.

문제1

2020년 6월 가형 28번

그림과 같이 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원의 호 AB 위에 점 P가 있다. 중심이 A이고 반지름의 길이가 AP인 원과 선분 AB의 교점을 Q라 하자. 호 PB 위에 점 R를 호 PR과 호 RB의 길이의 비가 3:7이 되도록 잡는다. 선분 AB의 중점을 O라 할 때, 선분 OR와 호 PQ의 교점을 T, 점 O에서 선분 AP에 내린 수선의 발을 H라 하자. 세 선분 PH, HO, OT와 호 TP로 둘러싸인 부분의 넓이를 S1, 두 선분 RT, QB와 두 호 TQ, BR로 둘러싸인 부분의 넓이를 S2라 하자. ∠PAB=θ라 할 때,

이다. 50a의 값을 구하시오. (단, 0< θ<π/4)

문제2

2021년 9월 평가원 #28

그림과 같이 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB의 중점을 O라 할 때, 호 AB 위에 두 점 P, Q를 ∠POA = θ, ∠QOB = 2θ가 되도록 잡는다. 두 선분 PB, OQ의 교점을 R라 하고, 점 R에서 선분 PQ에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼각형 POR의 넓이를 f(θ), 두 선분 RQ, RB와 호 QB로 둘러싸인 부분의 넓이를 g(θ)라 할 때,

이다. p+q의 값을 구하시오. (단, 0< θ < π/3 이고, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

문제3

2022년도 10월 29번

그림과 같이 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB의 중점을 O라 하고 호 AB 위에 두 점 P, Q를 ∠BOP = θ, ∠BOQ = 2θ가 되도록 잡는다. 점 Q를 지나고 선분 AB에 평행한 직선이 호 AB와 만나는 점 중 Q가 아닌 점을 R라 하고, 선분 BR가 두 선분 OP, OQ와 만나는 점을 각각 S, T라 하자. 세 선분 AO, OT, TR와 호 RA로 둘러싸인 부분의 넓이를 f(θ)라 하고, 세 선분 QT, TS, SP와 호 PQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 g(θ)라 하자.

일 때, 80a의 값을 구하시오. (단, 0 < θ < π/4)

정답 : 20

* 사인 근사를 이용한 도형 문제풀이는 지속적으로 업데이트 될 예정입니다.

적분의 수학적 의미를 알면 쉽게 풀리는 문제들 (2023년 고3 6월 20번)

한량 지아이 — Sat, 25 May 2024 22:35:37 +0900

2022년 시행된 6월 모의고사 질문을 받았습니다. 학생이 해설지가 잘 이해가 안 된다고 갖고 왔는데, 저도 해설지 보다 혈압 올라서 작성하는 포스팅입니다.

저는 적분은 '함수값을 쌓는다'라고 표현을 합니다. 점이 쌓이면 선이 되고, 선이 쌓이면 면이 되듯이, 함숫값을 쌓으면 면적이 되죠. 이걸 이용하여 간단한 문제를 먼저 풀어볼게요.

예제

아래 그림은 이차함수 y=f(x)의 그래프이다. 함수 g(x)를

로 정의할 때, 함수 g(x)의 최솟값은?

정답 : g(2)

음수인 면적을 가장 많이 포함해야 하므로,

g(2)가 됩니다.

2023년 6월 20번

최고차항의 계수가 2인 이차함수 f(x)에 대하여 함수

는 x=1과 x=4에서 극소이다. f(0)의 값을 구하시오.

주어진 조건으로부터

f(x)가 어떻게 생겼을지를 고민해보세요.

아래와 같은 그래프가 나온다면 성공!

2024학년도 경찰대 #10

정답 : 7 (a=1, b=6)

이런 류의 문제가 좀 더 많았던 거 같은데, 틈틈이 추가해서 한 번 모아보도록 하겠습니다.!

중복조합 변수 치환 추가문제

한량 지아이 — Thu, 16 May 2024 18:06:54 +0900

이전에 중복조합 부정방정식의 정수해 치환하는 유형을 다룬 적이 있습니다.

https://ladyang86.tistory.com/62

[중복조합] 부정방정식의 정수해 조건 부분

이전에 중복조합의 다양한 예시에서 배웠던 것들 기억하시죠? 여기서 가장 중요하게 다루었던 부분이 부정방정식의 정수해입니다. 오늘은 이 부분을 좀 더 자세하게 살펴볼 거에요. https://ladyang

ladyang86.tistory.com

위 포스팅에 이어서 싣기엔 너무 길어질 것 같아.. 추가 문제를 몇 개 더 첨부합니다.

문제1

24년 9월 모평 30번

다음 조건을 만족시키는 13 이하의 자연수 a,b,c,d의 모든 순서쌍 (a,b,c,d)의 개수를 구하시오.

(가) a ≤ b ≤ c ≤ d

(나) a x d는 홀수이고, b + c는 짝수이다.

정답 : 336개

sol) ad가 홀수이므로 a와 d는 홀수,

b+c가 짝수이므로 b와 c는 둘다 홀수이거나 둘다 짝수이다.

즉,

i) a,b,c,d가 모두 홀수

ii) a,d는 홀수, b,c는 짝수

두 경우를 세서 더하면 끝

i) a,b,c,d가 모두 홀수

ii) a,d는 홀수, b,c는 짝수

2a'+1 ≤2b'+2 ≤ 2c'+2 ≤ 2d'+3

문제2

1부터 10까지의 자연수가 하나씩 적힌 접시 10개가 번호 순서대로 놓여 있다. 검은색 공 3개와 흰색 공 7개를 각 접시 위에 하나씩 놓을 때, 검은색 공이 놓여 있는 접시에 적힌 수가 왼쪽부터 각각 홀수, 홀수, 짝수인 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

정답 : 20개

a●b ● c ● d

그림과 같이 검은색 공 3개를 놓고, 검은색 공 가장 왼쪽, 두 공의 사이, 검은색 공 가장 오른쪽에 놓이는 흰색 공의 개수를 각각 a, b, c,d라 하자.

a+b+c+d=7이고, 조건을 만족시키도록 나열하려면 a, c, d는 모두 0 또는 짝수, b는 홀수이어야 한다.

즉 a=2a', b=2b'+1, c=2c', d=2d'으로 놓으면

2a'+(2b'+1)+2c'+2d'=7

a'+b'+c'+d'=3 (a', b', c', d'은 음이 아닌 정수)

따라서 구하는 모든 순서쌍의 개수는 4H3=6C3=20개

문제3

2025 수능특강 Ch2. Lv2 #6

같은 종류의 쿠키 26개를 서로 다른 종류의 선물 상자 5개에 남김없이 나누어 담을 때, 각 상자에 담는 쿠키의 개수가 2 이상 6 이하가 되도록 나누어 담는 경우의 수는?

정답 : 70개

서로 다른 종류의 선물 상자 5개에 담는 쿠키의 개수를 각각 a, b, c, d, e라 하면 a+b+c+d+e=26 (a, b, c, d, e는 2이상 6이하의 자연수)

a=a'+2

b=b'+2

c=c'+2

d=d'+2

e=e'+2라 하면

(a'+2)+(b'+2)+(c'+2)+(d'+2)+(e'+2)=26

a'+b'+c'+d'+e' = 16 (a', b', c', d', e'은 4 이하의 음이 아닌 정수)

a'=4-a''

b'=4-b''

c'=4-c''

d'=4-d''

e'=4-e''

(4-a'')+(4-b'')+(4-c'')+(4-d'')+(4-e'')=16

a''+b''+c''+d''+e''=4

(a'', b'', c'', d'', e''은 4 이하의 음이 아닌 정수)

따라서 구하는 경우의 수는 순서쌍 (a'', b'', c'', d'', e'')의 개수와 같으므로

5H4=8C4=70

* 문제와 풀이는 추가될 수 있습니다.

처음으로 특정 지점에 도착하는 문제 모음

한량 지아이 — Sat, 11 May 2024 21:30:22 +0900

내신 대비하면서 학생들이 어려워했던 문제를 모아 보았습니다.

'처음으로' 어떤 조건을 수행 해야 하는 문제랍니다.

풀이는 손목이 회복되면 차차 올리고, 우선 문제와 정답, 간단한 힌트 정도를 같이 업로드합니다.

문제1

2020-3-1-M 쌘뽈여고 #3

좌표평면 위의 점 P는 한 번 이동할 때마다 다음 네 가지 중 한 가지 방법으로 이동한다.

(가) 점 P는 (x, y)에서 (x+1, y)로 이동한다.

(나) 점 P는 (x, y)에서 (x-1, y)로 이동한다.

(다) 점 P는 (x, y)에서 (x, y+1)로 이동한다.

(라) 점 P는 (x, y)에서 (x, y-1)로 이동한다.

원점 O에서 출발한 점 P가 5번 이동한 후에 처음으로 점 (2,1)에 도착하는 경우의 수는?

정답 : 38개

문제2

2022년도 수능

흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 5 이상이면 바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,

나온 눈의 수가 4 이하이면 바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 5번 반복할 때, n(1≤n ≤5)번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 an, bn이라 하자. a5+b5≥7d일 때, ak=bk인 자연수 k (1≤k≤5)가 존재할 확률은 q/p이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

정답 : 191

문제3

2019학년도 수능

좌표 평면의 원점에 점 A가 있다. 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

동전을 한 번 던져 앞면이 나오면 점 A를 x축의 양의 방향으로 1만큼, 뒷면이 나오면 점 A를 y축의 양의 방향으로 1만큼 이동시킨다.

위의 시행을 반복하여 점 A의 x좌표 또는 y좌표가 처음으로 3이 되면 이 시행을 멈춘다. 점 A의 y좌표가 처음으로 3이 되었을 때, 점 A의 x좌표가 1일 확률은?

정답 : 3/8

문제4

2024-3-1-m 세종국제고 #17

상자 A와 상자 B에 각각 10개씩 공이 들어있고, 상자에 들어 있지 않은 공 20개가 있다. 동전 한 개를 사용하여 다음 시행을 한다.

한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 상자 A에서 공 1개를 꺼내어 상자 B에 넣고, 뒷면이 나오면 상자에 들어 있지 않은 공 2개를 두 상자 A, B에 각각 1개씩 넣는다.

위의 시행을 10번 반복할 때, 10번째 시행 후 처음으로 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 상자 A에 들어 있는 공의 개수의 2배가 될 확률은 p이다. 64p의 값은?

정답 : 12개

풀이 : B는 항상 1개씩 늘어나는 상태이므로 10번째 시행 후 (A,B)=(10,20)이 돼야한다. 즉 앞면 5번, 뒷면 5번이 나오는 상태. 이 때 중간에 2A=B가 되면 안되므로, 이런 경우를 제외해줘야한다. B는 홀수가 될 수 없으므로, 가능한 경우는 (A,B)=(8, 16)을 거쳐 (10,20)이 되어야 한다. 즉 앞면4개 뒷면2개가 나온 다음, 앞면 1개, 뒷면 3개가 나오는 경우를 빼주면 된다.

{10C5-6C2x4C1}x1/2^10이다.

기출 중에 자주 나오는 3으로 나눈 나머지가 같아지는 사건 A가 6회째 처음으로 일어나는 문제도 풀어보면 좋습니다.

근호가 있는 식 - 소숫점 옮기는 유형에서 다른 숫자가 나오는 경우

한량 지아이 — Wed, 24 Apr 2024 19:50:07 +0900

근호가 있는 식을 정리할 때,

소숫점 옮기는 유형은 다들 풀 줄 아시죠?

기출 문제를 풀다보니,

주어진 숫자 말고 다른 숫자가 나오는 경우

당황할 것 같아 몇 문제 추가로 실어봅니다.

이럴 땐 당황하지 말고, 주어진 숫자를 정리 해보세요!

문제1

2021-3-1-m 새롬중 기출

주어진 값은 8.25, 82.5인데 갑자기 33이 나와서 당황스럽죠?

따라서 정답은 1번입니다.

와.. 시험기간이라 해설을 다 쓰려고 했는데, 한 문제 작성해보니 손목 크리로.. 안되겠군요.ㅠㅠ

우선은 급한대로 손으로 쓴 걸 찍어서 올리거나, 아니면 타이핑으로 힌트만 쓰는 방향으로 해야겠네요..

문제2

2021-3-1-m 수내중

정답 : 5번

8360을 소인수분해해서 정리해보세요.

20.9가 표에 없으므로 계산이 불가능 한 걸 알 수 있습니다.

문제3

2022-3-1-m 아름중 #4

정답 : 0.4472

문제4

2020-3-1-m 능인중 #11

정답 : 2번 71.05

5050을 소인수 분해하면 5x5x202입니다. 여기서 202=100x2.02이므로, 50x√2.02의 값을 계산하면 됩니다.

표에서 값을 찾아 계산하면 1.421x50=71.05가 됩니다.

문제와 해설은 더 추가될 수 있습니다.

그런데 아마 여기서 크게 벗어나진 않을 거에요.!

남은 시험 기간도 건승하시길.. :-)

[내신] 나머지 정리 - 낯선 문제 모음

한량 지아이 — Sat, 20 Apr 2024 15:32:19 +0900

내신 시험에서 볼 법한 나머지 정리 문제를 모아 보았습니다. 조립제법 이용하여 직접 나누는 유형부터 일반적인 유형서 문제지에서 훈련이 잘 안 되는 문제 위주로 다뤄보려고 합니다.

문제와 정답 먼저 업로드 합니다.

문제1.

2021-1-1-m 창덕여고 #8

x에 대한 다항식 x¹²+x+1을 x ²-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라 할 때, Q(1)의 값은?

(단, Q(x), R(x)는 x에 대한 다항식이다.)

정답 : 6

문제2

2020-1-1-m 종촌고 #23

다항식 x^20을 (x-1)²으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b라 할 때, a-b의 값을 구하시오. (단, a, b는 상수)

정답 : 39 (a=20, b=-19)

문제3

2019-1-1-m 고운고 서술#5

삼차다항식 f(x)가 아래 조건을 만족시킨다.

ㄱ. f(1)=1

ㄴ. f(x)를 (x-1)²으로 나눈 몫과 나머지가 같다.

f(x)를 (x-1)³으로 나눈 나머지를 R(x)라 하자. R(0)=R(3)일 때, R(5)의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

정답 : 13

문제4

2020-1-1-m 한솔고

삼차다항식 P(x)가 다음의 조건을 만족할 때, (x-2)²으로 나누었을 때의 나머지는?

<조건>

ㅇ방정식 P(x)-x³+2x²=0의 근이 1, 2 뿐이다.

ㅇP(x)를 x로 나누었을 때 나머지가 -4이다.

ㅇP(x)의 x²의 계수는 -10이다.

정답 : 6x-12

문제는 추가될 수 있습니다. ~~풀이는 제 손목이 회복되면 천천히 올리겠습니다~~.

미분계수 식변형 연습문제

한량 지아이 — Sun, 14 Apr 2024 16:36:50 +0900

미분계수 식변형 연습문제입니다.

알고리즘

1. 우선은 f안에 미지수가 들어있는 식을 가장 앞에 씁니다.

2. 어떤 상수가 들어가면 좋을지를 판단합니다.

3. 만약 f(x)앞에 다른 무언가가 붙어있다면 그걸 같이 곱해서 빼고 더해줍니다.

멀쩡한 식에 갑자기 분자에서 무언가를 빼기만 할 순 없겠죠? 방금 뺀 수를 부호만 바꾸어서 더해줍니다.

그러면 식이 잘 분해가 되어서 정리가 된답니다 :-)

예제

정답 : 2

문제

정답 :

(1) af'(a)-f(a)

(2) 2af(a)-a^2f'(a)

(3) 3a^2f(a)-a^3f(a)

(4) 2af(a)+a^2f'(a)

제가 손목 회복이 더디게 되고 있는 관계로 풀이는 추후 업로드 하고 우선 문제와 정답만 업로드합니다. 문제나 풀이는 추가 될 수도 있습니다.

합성함수 원소의 개수 - 경우의 수, 확률 선별문항

한량 지아이 — Sat, 6 Apr 2024 10:10:16 +0900

합성함수 원소의 개수 구하는 유형의 경우의 수, 확률 선별 문항 찾아서 올립니다.

문제와 정답부터 업로드하며, 풀이는 차차 업데이트 될 수 있습니다.

경우의 수

문제1

집합 X = {1,2,3,4,5}일 때, 함수 f : X → X에 대하여 f(f(x))=x를 만족하는 함수 f의 개수를 구하여라.

정답 : 26

문제2

집합 X = {1,2,3,4,5,6}일 때, 함수 f : X → X에 대하여 f º f º f(x)=x를 만족하는 함수 f의 개수를 구하여라.

정답 : 81개

문제3

집합 {a, b, c, d, e}에서 집합 {a, b, c, d, e}로의 함수 중에서 다음 조건을 만족 시키는 함수 f의 개수를 구하여라.

(가) 함수 f의 치역의 원소의 개수는 2이다.

(나) 합성함수 f º f의 치역의 원소의 개수는 1이다.

정답 : 140개

문제4

집합 X={1,2,3,4,5}와 함수 f : X → X에 대하여 함수 f의 치역을 A, 합성함수 f º f의 치역을 B라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 함수 f의 개수를 구하시오.

(가) n(A) ≤ 3

(나) n(A) = n(B)

(다) 집합 X의 모든 원소 x에 대하여 f(x) ≠ x

정답 : 260개

문제5

X={1,2,3,4,5}에 대하여 함수 f : X → X의 치역을 A, 합성함수 f º f의 치역을 B라 할 때, 두 집합 A, B가 다음 조건을 만족시키는 함수 f의 개수를 구하시오.

(가) n(A) ≥ 3

(나) 집합 A의 모든 원소의 합이 3의 배수이다.

(다) n(A) > n(B)

정답 : 528개

확률

문제

세 집합 X={1,2,3}, Y={4,5,6,7}, Z={8,9}에 대하여 조건(가)를 만족시키는 모든 함수 f : X → Y중에서 임의로 하나를 선택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 g : Y → Z 중에서 임의로 하나를 선택하여 합성함수 g º f : X → Z를 만들 때, 이 합성함수의 치역이 Z일 확률은?

(가) 집합 X의 임의의 두 원소 x1, x2에 대하여 x1 < x2이면 f(x1)<f(x2)이다.

(나) 함수 g의 치역은 Z이다.

정답 : 6/7

조건부 확률

문제 2025 수능특강 Ch4 Lv3 #1

집합 X={1,2,3,4,5}에 대하여 X에서 X로의 모든 함수 f 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 f가 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 f의 치역의 원소의 개수가 3일 확률은?

함수 f º f의 치역의 원소 중 홀수의 개수는 3이다.

정답 : 9/73

[삼각함수] 각변환 각은 친절하게 주어지지 않습니다.

한량 지아이 — Sat, 9 Mar 2024 19:10:15 +0900

삼각함수 각변환은 잘 연습 하셨나요?

내신이건 수능이건 각변환은 반드시 나오기 때문에 꼭 연습하셔야 합니다.

혹시 기억이 잘 안 나시는 분들은 아래 포스팅부터 먼저 익혀서 오세요.

https://ladyang86.tistory.com/172

삼각함수 각변환 총정리

오늘은 삼각함수의 각 변환을 모두 정리해보도록 할게요. 증명은 그래프를 이용하기 보다는, 삼각함수의 정의를 이용해서 해볼 예정입니다. 그래프를 이용한 증명은 다음번에 한 번 해보도록

ladyang86.tistory.com

https://ladyang86.tistory.com/175

삼각함수 각 변환 연습 문제 모음

교재에 실려 있는 삼각함수의 각 변환 공식 문제가 연습용으로 충분치 않은 것 같아서 싸그리 모아봤습니다. 오늘 포스팅에 들어있는 문제만 다 풀면, 더 이상 각변환 문제는 어렵지 않을 거에

ladyang86.tistory.com

문제 난이도가 올라가면, 각변환 해야 할 각들이 친절하게 주어지지 않습니다.

이럴 땐 주어진 각들의 관계를 관찰해보시면 됩니다.

저는 분모를 통분하여 써둔 다음 관찰합니다.

문제1

2019-2-1-m 새롬고 기출

정답 : 5

문제2

2025 수능특강 수학1 Ch3 Lv3 #2

정답 : 17/21

제가 손목이 요즘 아작난 관계로.. 풀이는 차차 업로드 예정입니다.. 문제는 추가될 수 있습니다.

판별식의 판별식 (D of D) 꼭 써야 하나요? (일차식의 곱으로 인수분해)

한량 지아이 — Thu, 15 Feb 2024 22:37:54 +0900

두 일차식의 곱으로 인수분해 되는 유형을 풀 때, 저는 판별식의 판별식(D of D)을 쓰기보다는, 그냥 상수항 인수분해+전체 인수분해로 대부분 푸는 편입니다. 대부분의 경우 이게 더 간단하거든요.

그렇지만 가끔 판별식 쓰는 경우가 더 편한 경우도 있어, 오늘 문제 하나 갖고 왔습니다.

문제

* 사실 이 부분 공부를 많이 한 학생들은 f(x), g(x)를 다 쓰지 않아도, 나머지 정리 바로 써서

R(x)+R '(x) = 2x+2,

R(x)R '(x)=a(x^2+x+1)+17x-5

Step3로 바로 넘어가셔도 됩니다.

우리가 구하는 R(x), R'(x)가 일차식이므로, 구한 해에 근호가 있으면 안되겠죠..?

여기서 D'이라고 쓴 판별식은 원래 t로 세운 이차방정식의 판별식 D/4의 판별식입니다.

이걸 보통 판별식의 판별식 (D of D)라고 불러요.

그래서 일차식 둘로 인수분해 되는 경우에는, 한 문자로 정렬해서 D of D =0으로 바로 푸셔도 됩니다.

사실 저는 복잡한 식의 인수분해를 많이 연습하면 이게 바로 되는 경우가 많아서, 저는 이 문제도 그렇게 풀 수 있을 거라고 생각했어요.

그런데 아무리 정수 조건이 있어도,

미지수 5개, 식5개는 그냥 손이 거부하더라고요.. 하나씩 소거해서 나가면 될 거 같긴 하지만, 할 자신이 없어서 패스...

문제2

x, y에 대한 이차식 x²-y²-2x-ky-k-2가 x, y의 두 일차식의 곱으로 인수분해되도록 하는 모든 실수 k의 값을 구하시오.

정답 : 6, -2

이 참에 D of D도 익혀두시고,

일차식의 곱으로 바로 푸는 문제는 다음에 예제와 같이 여럿 수록해볼게요 :-)

수학1 개념 강의 목차

한량 지아이 — Sat, 6 Jan 2024 23:58:16 +0900

* 목차 클릭하시면 해당 강의 포스팅으로 이동합니다.

* 수시로 업데이트 될 수 있습니다.

수학1

Ⅰ. 지수와 로그

1. 지수

거듭제곱근

Ⅱ. 삼각함수

호도법

동경의 위치관계 총 정리

부채꼴 호의 길이와 넓이

삼각함수의 정의

삼각함수 각변환(그래프 x, 정의를 이용한 각변환)

삼각형의 넓이 공식

Ⅲ. 수열

시그마 기호의 성질

분수꼴로 이루어진 수열의 합

[수학1 개념] 거듭제곱근

한량 지아이 — Sun, 31 Dec 2023 22:57:01 +0900

중학교 때 제곱근을 배웁니다.

2의 제곱근은 뭐죠?

±√2라고 이야기해도 맞긴 한데,

정의를 복습해봅자면 '제곱해서 2가 되는 수'가 되겠네요.

고등학교에 들어오면서 제곱근 부분을 올려줄거에요.

제곱근이 아니라 세제곱근, 네제곱근, ... n제곱근 이렇게요.

a의 n제곱근이라고 하면 n제곱하여 a가 되는 수 모두를 지칭합니다.

8의 세제곱근 = 세제곱해서 8되는 수

즉 8의 세제곱근은 실수인 2와 복소수인 -1+√3i, -1-√3i 총 3개가 나옵니다.

16의 네제곱근도 네제곱해서 16이 되는 수를 모두 지칭합니다.

즉 16의 네제곱근은 2, -2, 2i, -2i 총 네 개가 나옵니다.

푸는 과정을 생각해보면 4차 방정식을 풀었으니 복소수 범위 내에서는 4개가 나오겠죠?

a의 n제곱근은 n제곱해서 a가 되는 수이므로, 식으로 써본다면, n차 방정식이 됩니다. 그렇다면 일단 n개가 나오겠죠?

그래서 이 단원을 배울 때는 (마치 2의 제곱근과 제곱근2를 구분할 때처럼) 개념을 묻는 문제도 나옵니다.

우리는 이미 명제를 배웠으니 포함관계를 통해 참/거짓을 판단할 수 있죠.

8의 세제곱근은 2가 아니지만, 2는 8의 세제곱근입니다.

* 글로만 봐서 이해가 잘 안된다면? 영상으로 쉽게 개념을 학습해봐요.

https://youtu.be/HxmgZJEU-xI

금번 방학 때는 짧지만 꼼꼼한 개념 시리즈 꾸준히 업데이트 해보겠습니다.

[중2] 최단거리, 길 찾기 경우의 수 - 기초부터 응용까지

한량 지아이 — Sun, 10 Dec 2023 23:41:21 +0900

오늘은 가장 기초적인 길 찾기 경우의 수를 다뤄볼거에요. 중2를 대상으로 작성한 포스팅이지만, 만약 고1 수학(하) 길 찾기가 어렵다면 많은 도움이 될 겁니다.

최단거리 길 세는 방법은 아래와 같습니다.

1. 최단 방향을 찾는다.

2. 교점마다 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 센다.

3. 여러 지점을 가야하는 경우에는 곱의 법칙을 이용한다.

알고리즘을 이용하여 문제푸는 방법은 아래와 같습니다.

https://youtu.be/ZGrAQmIRKfY?si=wadL0ybZzpVJZ5hw

아래 문제를 하나씩 풀어가면서 익혀보도록 해요.

문제 1

정답 : 6개

문제2

정답 : 10개

문제3

정답 : 8개

문제4

정답 : 7개

문제5

그림과 같은 정사각형 모양의 길이 있다. A 지점에서 출발하여 B 지점을 거쳐 C 지점까지 갈 때, 가장 짧은 거리로 가는 경우의 수를 구하시오.

정답 : 9개

아래는 영상에 없는 추가 문제랍니다. 위의 다섯 문제가 쉽게 풀렸다면 한 번 도전해보세요.

문제6

그림과 같이 점 A에서 출발하여 오른쪽 혹은 위쪽으로 1칸씩 이동하면서 점 B에 도착한다.

점 C,D,E 중 정확히 하나만 지나면서 점 A에서 점 B로 이동하는 경우의 수는?

정답 : 14개

경우의 수 길 찾기 문제는 고1 수학(하), 확률과 통계에서도 다시 나오는 테마이니, 열심히 공부하도록 하세요 :-)

그럼 다음에 또 뵐게요!

중2 - 평행선 닮음비 넓이비로 푸는 문제

한량 지아이 — Sat, 9 Dec 2023 22:19:20 +0900

중2 평행선 문제를 풀면서,

닮음비와 넓이비를 같이 봐야하는 문제들이

좀 어려운 편인 것 같아 문제와 정답 먼저 올려둡니다.

문제 1

△ABC에서 BE와 CD의 교점을 F라고 하자. BE:BF는?

정답 : 5:4

문제2

평행사변형 ABCD에서 AD의 중점을 M,

MD의 중점을 N이라고 하자.

BM, BN이 대각선 AC와 만나는 점을

각각 O, P라고 할 때,

△OBP : △ABM은?

정답 : 4:21

문제3

그림과 같이 AB=5, AC=3인 △ABC에서 AB의 연장선 위에 AD=4인 점을 D라 하고, 각DAC의 이등분선과 변BC의 연장선이 만나는 점을 E라 하자. AE와 CD의 교점이 O이고, △ACO의 넓이가 12일 때, △DOE의 넓이는?

정답 : 54

문제4

평행사변형 ABCD에서 변AD 위의 점 E에 대하여 변CE와 변BD의 교점을 F, 변 CE의 연장선과 변AB의 연장선의 교점을 G라고 하자. AE:ED=1:3일 때, EG의 길이와 EF의 길이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.

정답 : 7:9

적분 속도 문제 모음

한량 지아이 — Sat, 2 Dec 2023 19:51:51 +0900

내신 문제들을 풀면서, 적분 속도 문제 중 괜찮은 문제들을 몇 문제 실어보았습니다.

한 번에 안 풀리거나 조금 생소한 문제들이 있을 수도 있어요. :-)

완벽한 포스팅을 지향하다가 시기를 놓칠 수도 있을것 같아 우선 문제와 정답부터 업로드하고 풀이는 차차 업데이트 예정입니다.

문제1

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도 v(t)의 그래프는 아래 그림과 같다. t=1, t=6일 때의 점 P의 위치가 각각 1, 5/2일 때, t=8일 때의 점 P의 위치를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. (단, a>0)

정답 : 9/2

* 초기 위치 안 준 문제라 처음에 a값을 잘못 구해서 헤맬 수 있음.

문제2

지아이는 교내대회에 대비하여 다음의 수리논술 예상 문제를 풀고 있다.

수리논술 예상 문제

직선 도로를 달리는 어떤 자동차가 제동을 건 후 일정하게 감속되어 5초 후 완전히 정지한다고 한다. 이 자동차가 시속 80km로 달리고 있을 때, 앞 차와의 안전거리는 최소 몇 m를 유지해야 하는가?

아래는 지아이의 풀이과정 중 일부이다.

지아이의 풀이

제동을 건 후 완전히 정지할 때까지의 ㅇㅇㅇㅇ를 안전거리로 유지하면 된다. ㅇㅇㅇㅇ를 구하기 위해 t초 후의 속도 v(t)를 구하자. 감속하는 일정 비율을 k라 하면, v(t)=80-kt이다. 5초 후에 정지하므로 80-5k=0이고, k=16이다. (중략) ...

다음의 물음 (1), (2)에 각각 답하시오.

(1) 지아이의 풀이과정에서 최초로 오류가 나타나는 식과, 그 식이 오류인 이유를 정확하게 쓰시오.

(2) 위의 수리논술 예상 문제의 옳은 풀이과정과 답을 쓰시오.

정답

(1) v(t)=80-kt에서 오류가 나타난다. 거리 단위는 m이고, t초 후의 속도이므로 m/s를 속도 단위로 사용해야 한다.

(2) 속도 단위를 m/s로 사용하기 위해 비례식을 세우면 80000m:3600초 = s:1에서 s=200/9이다.

일정하게 감속하는 일정 비율을 k라 하면, t초 후의 속도 v(t)=200/9 - kt이다. 5초 후에 멈추므로 k=40/9이고, v(t)=200/9 - 40t/9 이다. 앞차와의 안전거리는 이를 0부터 5초까지 적분하면 되므로 500/9 (정적분 혹은 삼각형 넓이로 계산)

문제3

정답 : 36

* B는 A 발사 3초 후에 발사하므로, 같은 t로 쓰면 안 됩니다.

* k≠0이므로 약분해서 식 정리해도 됩니다.

문제4

정답 : 6번

문제5

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 5cm인 원 위의 한 점 A에서 두 점 P, Q가 동시에 출발하여 서로 반대 방향으로 원 위를 움직이고 있다. 점 A를 출발한 지 t초 후의 두 점 P, Q의 속력이 각각 (4t+2) cm/s, (2t+3) cm/s일 때, 출발 후 10초 동안 두 점이 만나는 횟수를 구하여라. (단, π=3.14로 계산한다.)

정답 : 11회

* 문제와 풀이는 불시에 업데이트 될 수 있습니다. 만약 풀이가 필요한 문제가 있거나 질문있으면 댓글로 요청해주세요.

[삼차함수] 서로 다른 세 실근 => 극대x극소로 푸는 문제

한량 지아이 — Fri, 10 Nov 2023 23:33:01 +0900

삼차함수 그래프를 배우다 보면,

서로 다른 세 실근/두 실근을 갖는다는 조건을

극댓값x극솟값의 부호로 푸는 설명을 볼 수 있습니다.

학습하면서 접하는 꽤 많은 문제가 굳이 극댓값x극솟값까지 구하지 않아도, 간단하게 인수분해가 되는 유형도 있어요. 그렇지만 오늘은 극댓값x극솟값으로 곱했을 때 더 쉬운 문제들을 풀어볼게요.

예제

2020년 10월학평 나형 #28

먼저 주어진 함수를 미분해서 개형을 그립니다.

문제

[집합] 약수, 배수 들어가는 문제 정리

한량 지아이 — Sun, 8 Oct 2023 23:56:04 +0900

1. 배수집합

자연수 k의 배수 전체의 집합

일반적으로 Ak={x|x는 k의 배수}와 같이 나타냅니다.

교집합

합집합

사실 이렇게 합집합/교집합 익혀도 되는데, 배수 집합은 그냥 원소 나열법으로 초기에 몇 개를 직접 나열해보시는 걸 추천합니다. 배수/약수 문제는 명제에서도 많이 나오는데, 특히나 참/거짓 포함할 때 이게 은근 헷갈리거든요..

문제를 같이 풀어 보면서 익혀보도록 해요. 참고로 풀이와 문제는 나중에 더 추가될 수 있습니다.

문제 1

문제2

2. 약수 집합

Bn={x|x는 n의 약수}

[함수 개형] 위로 볼록, 아래로 볼록 수식으로 나타내기

한량 지아이 — Sun, 1 Oct 2023 23:48:15 +0900

직선을 제외한 곡선 함수는 평면에서 위로 볼록하거나, 아래로 볼록하거나 둘 중 하나입니다.

그런데 보통 문제에서 f(x)는 어느 구간에서 위로 볼록하다- 이런식으로 주지 않거든요.

이걸 수식으로 어떻게 나타내는지 오늘 살펴볼 거에요.

1. 고1 수학 : 내분점과 함숫값의 내분점을 비교. (주로 중점을 사용)

아래로 볼록	위로 볼록
곡선 y=f(x)위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) (단, a<b)에 대하여	곡선 y=f(x)위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) (단, a<b)에 대하여

만약 아래와 같이 함숫값의 중점과 중점의 함숫값이 항상 같다고 나온다면?

이건 직선을 의미한답니다 :-)

2. 수학2

① 두 평균변화율을 비교하여 판정

아래로 볼록	위로 볼록
곡선 y=f(x)위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)), C(c, (c)) (단, a<b<c)에 대하여	곡선 y=f(x)위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) C(c, (c)) (단, a<b<c)에 대하여

② 원점과 곡선 위의 점을 지나는 직선의 기울기를 이용한 방법

아래로 볼록	위로 볼록
원점을 지나는 다항함수 y=f(x)위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) (단,0< a<b)에 대하여	원점을 지나는 다항함수 y=f(x)위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) (단,0< a<b)에 대하여
0<bf(a)<af(b)	bf(a)>af(b)>0

③ 접선의 방정식과 함수의 그래프를 이용한 방법

아래로 볼록	위로 볼록
x=a에서의 접선이 곡선 y=f(x)의 아래쪽에 있다.	x=a에서의 접선이 곡선 y=f(x)의 위쪽에 있다.
f(x) ≥ f'(a)(x-a)+f(a)	f(x) ≤ f'(a)(x-a)+f(a)

④ 정적분과 사다리꼴의 넓이를 비교하여 판정하는 방법

아래로 볼록	위로 볼록
곡선 f(x)≥0 위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) (단, a<b)에 대하여	곡선 f(x)≥0 위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) (단, a<b)에 대하여

⑤ 정적분과 삼각형의 넓이를 비교하여 판정하는 방법

아래로 볼록	위로 볼록
곡선 f(x)≥0 위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) (단, a<b)에 대하여	곡선 f(x)≥0 위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b)) (단, a<b)에 대하여

미적분까지 배우시면 이계도함수의 부호를 이용하는 방법도 추가 된답니다.

고1때까지만 하더라도 중점을 이용한 방법만 주로 다루는데, 수학2를 배우고나면 함수의 개형을 나타내는 방법이 매우 다양해집니다. 연습을 다양히 해보도록 하세요!