함수의 극한 진위 판정은
거의 대부분의 학생들이 질문하는 영역입니다.
이전에도 한 번 다룬적이 있는데,
오늘은 이 중 함수의 극한의 수렴/발산에 관한
진위판정 문제를 모아서 쭉 풀어볼까 합니다.
이전 포스팅은 아래를 보시면 됩니다.
https://ladyang86.tistory.com/40
[함수의 수렴과 연속] 수렴, 발산과 연속, 불연속 진위판정 쉽게 하는 방법
오늘은 함수의 수렴과 연속의 성질들을 쉽게 외우는 방법에 대해 알아보겠습니다. 우리가 고2 내신을 준비하다보면, 진위 판정을 한 번쯤은 해보게 됩니다. 이게 은근 어렵죠. 나중에 좀 더 쓸텐
ladyang86.tistory.com
아래는 모두 수학2에서 다루는 함수를 기준으로
판단하시면 됩니다.
다항함수, 분수함수 - 우선은 요 정도랄까요?
삼각함수나 지수/로그함수를
제외하고 푸시면 됩니다.
해당 내용을 모두 수학2 과정에서만
검토한 거라 그렇습니다.
반례 몇 가지는 외워두시는 편이 좋죠.
그럼 문제를 쭉 풀어봅시다.
문제1
거짓
x=a에서 f(x)의 극한이 0이 아니라는
가정이 있어야 성립
반례) f(x) = x² , g(x)= 1/x, a=0인 경우
f(x)g(x)=x라 x=0에서 수렴하지만
g(x)는 x=0에서 수렴하지 않는다.
문제2
거짓
뒤에 나누는 극한이 0이 아니라는
가정이 있어야 성립함.
즉 g(x)뿐만 아니라
f(x)도 x=a에서의 극한이 0이 아니어야 함
반례) f(x) = x² , g(x)= 1/x, a=0인 경우
f(x)/g(x)=x³이라 x=0에서 수렴하지만
g(x)는 x=0에서 수렴하지 않는다.
문제3
참
수렴하는 함수끼리는 곱해도 수렴함
문제4
거짓
g(x)도 수렴한다는 조건이 있어야 성립함.
반례) f(x) = 1/x , g(x)= -1/x, a=0인 경우
둘이 더하면 0이라 x라 0에서 수렴하지만
f(x)는 x=0에서 수렴하지 않는다.
문제5
거짓
f와 g가 둘다 각각 수렴한다는 조건이 없으면
극한을 이렇게 떼서 쓸 수 없다.
둘 다 발산하는데 빼서 수렴하는 함수를
얼마든지 만들 수 있기 때문.
반례) f(x) = 1/x + x , g(x)= 1/x, a=0인 경우
둘이 빼면 x라 0에서 수렴하지만
각각은 수렴하지 않는다.
문제6
참
수렴하는 함수끼리 더하고 빼도 수렴한다.
둘을 더해서 2로 나누면 f(x)가 되므로 성립.
문제7
거짓
발산하는 함수끼리 더하면
발산할 수도 있고 수렴할 수도 있다.
반례) f(x) = 1/x + x , g(x)= -1/x, a=0인 경우
각각은 극한이 존재하지 않지만,
둘이 더하면 x라 0에서 수렴한다.
문제8
참
수렴하는 것끼리 나눌 때 0만 아니면
극한 역시 존재한다.
문제9
거짓
극한값에 등호가 들어갈 수 있다.
반례) f(x) = x², g(x) = x²+x, a=0이면
모든 양수 x에 대하여 항상 f(x)<g(x)이지만
둘 다 0에서의 우극한은 0이다.
문제10
참
x+2=t로 치환하면 같은 식이 나온다.
문제11
거짓
전자는 f(x)의 우극한만 알 수 있음.
좌극한에 대한 정보는 없으므로 모름.
문제12
참
문제13
참
문제14
거짓
문제15
문제 3과 동일함
근데 g가 0이어도 f가 0이어서 극한 존재할 수 있으므로,
전제조건이 없다해도 참임.
문제16
참
문제17
참
문제18
참
극한값이 0인걸 이용해서 증명하면 됩니다.
문제19
거짓
x로 묶어보면 f(x)/x는
수렴 or 발산할 수도 있습니다.
문제20
참
t=1/x로 치환해서 정리하면
f(x)=x가 나오므로 참
문제21
참
f(x)=x+k이므로 참
문제22
거짓
0x무한대 꼴이므로
0, 상수, 발산 모두 가능
문제23
참
양변을 x로 나누고 극한을 취하면
조임정리에 의해 0으로 수렴
문제24
참
둘 다 수렴하므로 유도 가능
문제25
거짓
문제26
거짓
문제27
거짓
문제28
참
문제29
거짓
문제30
거짓
문제31
참
문제32
참
문제33
참
문제34
참
문제35
참
문제36
거짓
36문제가 상당히 많죠?
반례가 더 필요하거나,
추가 해설이 필요한 경우
수정 추가로 하겠습니다.^^
그럼 열공하시고,
다음에는 함수의 연속에 관한 진위판정 문제
들고 찾아올게요!
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