수학2 킬러문항 선대칭, 절댓값, 미분가능,연속 문제
선대칭을 이용해서 풀어야 하는 좋은 문제들 몇 개를 선정해보았습니다. 절댓값이나 미분가능/불가능 이슈를 반드시 숙지하고 있어야 해요. 그래프를 그리면 쉽게 풀리는 문제들입니다. 아니라면 엄.. 좀 많이 돌아가죠. 자잘한 테마별로 알아야 할 것들이 많은데 그 모든 걸 여기에서 해설하며 풀자니 양이 너무 많은 편이라, 우선은 상세한 풀이와 문제만 올려두고, 나머지 테마는 차차 하도록 해요.
이 부분을 풀기 전엔 먼저 x=a 대칭과 y=b 대칭에 관한 함수식 표현을 알고 계셔야 합니다. 그리고 절댓값이 포함된 그래프나 미분가능/불가능 이슈 모두 다요.. 내용은 기회가 되면 다음에 정리해서 올리도록 할게요!
문제1.
2015년 3월 B형 #28
먼저 주어진 함수를 해석해봅시다.
즉 g(x)는 x=k를 기준으로
f(x)를 접은 그래프이군요!
아래와 같이 k의 위치를 움직여가면서
그래프를 그려보면,
전구간에서 미분이 가능하기 위한 조건
= 미분계수가 0이 될 때의 k값
임을 금새 눈치챌 수 있습니다!
그런데 여기서 f'(x)의 두 근이
인수분해가 안 돼서 쉽게 구해지진 않는군요.
D>0이므로 실근은 확실한데 말이죠!
이럴 때는 그냥 두 근의 합 공식을 쓰면
p,q를 빠르게 구할 수 있습니다.
즉, 가능한 k의 합이 3/2이므로
p=3, q=2여서 정답은 14입니다.
문제2.
2017학년도 사관학교 나형 21번
문제3.
2021년도 수능특강 수학2 Lv3 #2
우선 사차함수의 그래프를 그리기 전 f(x)의 개형을 살펴보면, 크게 아래와 같이 분류할 수 있습니다.
여기서 각 그래프 별 g(x)를 그려보고 해당 조건에 만족하는 형태가 어떤 것인지 살펴보도록 합시다.
g(x)의 경우 x=c를 기준으로 x<c일 때는 f(x)를 그리고, x≥c일 때는 f(x)를 y=4에 대해 대칭시킨 그래프를 그려줍니다.
그럼 또 y=4가 f(x)와 어디에서 만나냐에 따라 개형이 달라지겠죠? 하나씩 차례대로 다 그려봅시다.
다 그려보니 첫번째 개형에서는 조건에 만족하는 형태가 나오질 않네요. 그래서 다음 개형으로 넘어가서 하나씩 살펴봅시다.
y=4가 f(x)와 어디에서 만나냐에 따라 개형이 달라지므로 위치관계를 아래와 같이 하나씩 파악해봅시다.
저는 해설을 위해 그래프를 다 하나씩 그렸는데, 실전에서 문제를 풀 때는 f(x)를 그려두고 축의 위치를 조금씩 변형해가면서 빠르게 판단하셔야 합니다 :-)
아무튼 g(x)를 그려봅시다. x=c를 기준으로 x<c일 때는 f(x)를 그리고, x≥c일 때는 f(x)를 y=4에 대해 대칭시킨 그래프를 그려줍니다. 그 다음 |g(x)-k|가 전구간에서 미분 가능한 점이 두 개 나오는 개형을 찾아보면 됩니다!
우선 y=4를 기준으로 대칭인 그래프를 그렸을 때, 둘이 만나는 교점이 c가 될 수 있습니다. 교점이 2개인 경우에는 둘 중 어느 것이 c인지 나누어서 그리고, 없는 경우에는 연속이 되질 않으니 안되겠죠?
(하늘색 형광펜 부분이 g(x)의 그래프입니다.)
후.. 이러면 y=4에서 접하는 경우만 가능한 걸 알 수 있네요! 이제 개형을 구했으니, 나머지 조건도 따져봅시다.
우선 전 구간에서 미분 가능한 점이 2개 있는 개형은 아래 둘 중 하나입니다.
어차피 둘이 x=0을 기준으로 좌우만 다른거라, 오른쪽 그래프는 왼쪽처럼 다 하나씩 그려보지 않아도 되겠죠?
c의 값이 하나뿐이므로 g(x)의 그래프를 그려줍시다. (하늘색 형광펜입니다.)
앗, 근데 문제에서 양수c라고 했으므로 왼쪽의 그래프만 가능하겠네요!
자, 여기서 문제를 다시 살펴볼까요?
두 그래프 모두 k에 해당하는 값이 4와 b임을 알 수 있죠. 둘이 더 해서 25/3이 나와야 하므로 b=13/3입니다.
알아낸 정보를 종합해서 그래프에 적용을 해봅시다.
f(c)=4이므로 이제 a의 값도 알아낼 수 있습니다. 근데 대입을 하실 때는 a보다 c로 정리하시는 게 더 편합니다. 분수가 계속 나오면 아무래도 계산이 번거로우니까요 :-)
이제 f(2)를 대입해서 계산해주시면 됩니다.
정답은 29/3이 나오네요. 처음에 답이 분수 나오길래 제가 잘못 푼 줄 알고 놀랐습니다. =-=; 모의고사에는 분수가 답으로 안 나오니까요. 근데 뭐 이건 수능특강이니까요.ㅎㅎ
아래는 위의 문제 1,2,3을 제대로 이해하고 풀었다면
크게 어렵지 않게 풀 수 있는 문제입니다.
한 번 도전해보세요!
보너스 문제!
2020학년도 사관학교 나형 20번
정답은 3/2입니다. 혹시 안 나오는 경우에는 a=27/16인데 이것부터 제대로 구했는지 검토해보세요!
오늘 다룬 문제들은 꽤 어렵죠?
대칭식을 써도 솔직히 풀기가 쉬운 건 아닙니다만,
선대칭 부분이 해석이 안되면
뭐.. 네.. 접근 자체가 더 어렵지 않나 싶어요.
아무튼 수학2는 해석이 필수고,
그래프는 꼭 그려야 하니
힘내서 열공하시기 바랍니다 :-)
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