표본표준편차 - 표본분산을 n-1로 나누는 이유

오늘은 표본분산을 구할 때 왜 n이 아닌 n-1로 나누는지에 관한 포스팅입니다.

 

참고로 이 부분은 교육과정에는 없는 내용입니다. 그래서 몰라도 상관없는 내용이죠.

 

다만, 상위권 학생들을 지도할 때, 질문을 꼭 받는 편이어서 참고하라고 쓰는 포스팅입니다. 심화 내용이니 주제탐구 보고서 같은 걸로 써도 좋을 것 같군요. 

 

추정에서 중요한 모집단과 표본평균에 관한 내용들은 아래 포스팅 참조하시고요.

https://ladyang86.tistory.com/125

표본평균 개념 + 직접 구하는 법

오늘은 표본평균의 분산이 아닌 표본분산에 관한 내용입니다.

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표본평균, 표본분산, 표본표준편차의 정의

 

모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본을

이라고 할 때,

 

 

이 n개의 평균, 분산, 표준편차를 각각

표본평균, 표본분산, 표본표준편차라고 합니다.

이 때 표본분산을 살펴 보시면, 

편차의 제곱의 합을 n이 아닌 n-1로 나누어서 구합니다.

 

모분산의 경우에는 편차의 제곱의 합을 자료의 개수로 나누어서 구하는데 표본분산은 표본의 크기인 n보다 1이 작은 값으로 나누어서 구하죠. 

 

우리가 표본표준편차를 언제 쓰는지 생각해봅시다.

모평균 m을 추정할 때 쓰죠.

 

그런데 신뢰구간의 공식을 보면 이를 추정하기 위해서 모표준편차 σ가 필요합니다.

아니... 지금 모평균 m도 몰라서 표본 뽑아서 추정하고 있는데...

모표준편차 σ를 모르겠죠..?

 

그래서 이 때 모표준편차 σ를 표본표준편차 S로 대신해서 구합니다.

 

우리가 지금부터 살펴볼 건,

모표준편차 σ를 대신해서 쓰기에,

표본을 다 더해서 나눈 Sn이 적당한지 한 번 살펴볼거에요.

 

와.. 기네요..

 

아무튼 결론은 아래와 같습니다.

모분산과 같게 나오지 않는군요. 오히려 작아지는 경향이 있네요.

이걸 모분산으로 보정하기 위해 n/n-1을 곱하면,

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정리하자면,

표본표준편차를 구하는 이유는 모표준편차 대신 쓰기 위함인데,

n으로 나눈 Sn의 값은 실제 모표준편차와 차이가 있기 때문에,

이를 보정하여 n-1로 나눈 값을 사용한다는 것입니다 :-)

 

수식으로 정리하는 것이 힘들긴 해도, 왜 그렇게 하는지 확실히 알 수 있으니 좋네요.

 

통계는 정의를 명확하게 아는 것이 중요하니, 공부할 때 꼼꼼하게 하시길 추천드리며, 

원래는 여기에 정말 그러한지 데이터로 검증까지 해보려고 했는데, 

분량 조절 실패로 다음에 이어서 싣겠습니다.

 

빠이~!