[귀류법] 루트2가 무리수임을 증명. 무조건 이해되는 설명.

귀류법 : 명제의 부정이 맞다고 가정해서 모순임을 보이는 방법.

 

말이 어렵죠? 특히나 증명 과정에서 분수로 두고 정리하고.. 어렵습니다. 오늘은 이렇게 어려운 귀류법을 좀 쉽게 설명해보도록 할게요. 포스팅 다 읽을 때 쯤이면 증명도 하고 있는 나의 모습을 발견할 수 있을 거에요!

루트2가 무리수인걸 직접 보이기는 어렵습니다.

왜냐면 무리수는 순환하지 않는 무한소수거든요.

순환하지 않는 무한소수인걸 직접 보이려면... 엄.. 무한히 가는 숫자인걸 직접 보여줘야 하는데.. 말이 안되죠?

 

그럼 어떻게 할까 고민해봅시다. 여기서 사용되는 게 귀류법입니다.

유리수라 했더니 말이 안됨. 유리수 아니니까 무리수임! 이렇게 증명하는 것이죠.

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이런 상황을 생각해봅시다.

 

어느날 내가 살인자로 몰렸다. 경찰이 내가 유력한 용의자라며 살인자가 아닌 걸 증명하라고 했다.

아니.. 슈밤.. 아닌 걸 어떻게 증명해. 

그래서 나는 이렇게 말했다.

형사 아저씨, 내가 만약 살인자라고 가정해봅시다. 그런데 저는 그 시간에 수업을 하고 있었다구요. 여기여기 증거와 증인이 있어요. 형사 아저씨 말대로 제가 살인자라고 하면 말이 안되죠? 그러니 저는 결백해요.ㅇㅋ?

 

이런 과정이 귀류법입니다.

나는 무죄다. 근데 결백하다는 걸 직접 증명하는 건 힘드니, 너의 주장대로 내가 범인이라고 가정해보자. 근데 그러면 모순이 나온다. 즉, 내가 범인이라면 말이 안되니까 나는 무죄다. 라고 증명하는 게 귀류법인거죠. 

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다시 원래의 증명법으로 돌아가봅시다.

루트2가 무리수임을 증명하라!!

무리수는 순환하지 않는 무한 소수죠.

아니.. 그럼 나눠서 무한히 나오는 걸 증명해야 하잖아? 

말이 안됩니다. 그러니, 무리수가 아니라고 하면(유리수라고 가정하면) 말이 안되니까(모순이니까) 참임을 보입시다.

 

루트2가 유리수라고 가정하자.

그럼 서로소인 분수로 표현이 된다.

근데 정리해보니 서로소가 아니네?

이건 앞에서 서로소라고 말한거에 모순이다.

그러니까 유리수가 아니다.

 

이런 과정입니다.

 

이제 이걸 식으로 써봅시다.

이제부터 식을 정리해보니 서로소가 아니라는 걸 보여줄겁니다.

그러니 반드시 처음에 a,b는 서로소인 정수라고 가정해야

나중에 모순이라고 말할 수 있겠죠?

 

이제는 식을 정리하는 과정에서 서로 2의 배수라는걸 보여줄 거에요.

 

정리를 해보니 b가 2의 배수로 나왔네요. 그죠? 

아까 a,b는 서로소라고 가정했는데 둘 다 짝수가 나왔군요. 말이 안됩니다. 모순이죠.

즉, 유리수라고 가정했는데 말이 안되므로 무리수입니다.

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루트3이나 루트5의 경우도 마찬가지로 증명하시면 됩니다. 유리수라고 가정하면 서로소인 정수의 비로 나타낼 수 있는데, 식을 정리해보니 둘 다 3의 배수/5의 배수가 나와서 서로소에 모순이라고 보는 것이죠.

 

이해가 잘 되셨나요?

 

이 부분은 명확한 식까지 처음에 다 못외운다면, 큰 흐름이라도 먼저 보시는 게 좋습니다.

그럼 다음에도 쉬운 설명 들고 올게요~!