배수 판정법 (초중고딩 모두 이해할 수 있음)

경우의 수를 구하다보면 배수 판정법이 종종 쓰일 때가 있죠. 쉬운 편이니 금방 정리하고 넘어갑시다.

규칙이 비슷한 것들끼리 살펴보고 필요하다면 증명도 같이 해보도록 해요.^^

끝자리 수로 살펴보는 배수 판정법

2의 배수 : 일의 자리수가 0 또는 짝수

5의 배수 : 일의 자리수가 0 또는 5

10의 배수 : 일의 자리수가 0 (2의 배수 & 5의 배수이므로 공통 조건인 일의 자리수가 0인 걸 알 수 있습니다.)

 

초등학생들도 아는 가장 쉬운 배수판정법입니다. 일의 자리 숫자만 살펴보면 되죠.

 

그 다음은 4와 8의 배수입니다.

 

4의 배수 : 끝의 두 자리가 4의 배수

8의 배수 : 끝의 세 자리가 8의 배수

 

4와 8은 끝에서부터 각각 2자리, 3자리만큼을 보면 됩니다.

 

예를 들어볼까요?

4520 : 끝의 두 자리 20이 4의 배수이므로 4의 배수

8522 : 끝의 두 자리 22가 4의 배수가 아니므로 4의 배수가 아닙니다.

 

45200 : 끝의 세 자리 200이 8의 배수이므로 8의 배수

65202 : 끝의 세 자리 202가 8의 배수가 아니므로 8의 배수가 아니다.

 

원리는 이렇습니다.

 

우리가 표기하는 숫자는 십진법이죠. 4520을 살펴보면 4x1000 + 5x100 + 2 x 10 으로 이루어져있죠. 이 중 1000과 100은 모두 4로 나누어집니다. (4x25=100이기 때문이죠!) 그러니 십의 자리와 일의 자리 숫자로 이루어진 부분만 보면 되는 거죠..!

 

8의 배수 판정 역시 마찬가지입니다. 65202를 살펴보면 4x10000 + 5x1000 + 2x100 + 2x1이죠. 이 중 1000 이상의 숫자는 모두 8로 나누어집니다. (8x125=1000입니다.) 그러니 끝의 세자리수만 살펴보면 됩니다.

 

각 자리 숫자의 합으로 이루어진 배수 판정법

3의 배수 : 각 자리수의 합이 3의 배수

9의 배수 : 각 자리수의 합이 9의 배수

 

예를 들어볼까요?

123456은 각 자리 숫자를 더한 1+2+3+4+5+6 = 21이 3의 배수이므로 3의 배수이지만 9의 배수는 아닙니다.

3546은 각자리 숫자를 더한 3+5+4+6=18이 9의 배수이므로 9의 배수이면서 3의 배수입니다.

 

원리가 뭘까요?

이것 역시 우리가 십진법으로 수를 나타내는 데 있습니다.

위의 3546 = 3x1000 + 5x100 + 4x10 + 6으로 나타낼 수 있죠.

그런데 1000=999+1로 쪼갤 수 있습니다. 다른 숫자도 마찬가지죠.

즉, 3546 = 3x1000 + 5x100 + 4x10 + 6

            = 3x(999+1) + 5x(99+1) + 4x(9+1) +6으로 풀 수 있습니다.

이 때 이 식을 전개해서 나온 수 중 9, 99, 999와 곱해지는 수는 모두 9로 나눠지므로, 남은 3+5+4+6만 9의 배수면 됩니다.

 

일반화 해도 마찬가지로 증명 가능합니다.

abcd = ax(999+1) + bx(99+1) + cx(9+1) +d

        =(999a+99b+9c) + a+b+c+d 이므로, a+b+c+d만 9의 배수이면 되죠.!

 

3의 배수는 9의 배수와 동일합니다.

 

6의 배수 : 2의 배수 & 3의 배수인 수를 고르면 됩니다.

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깔끔하게 정리 해볼까요?

 

2의 배수 : 일의 자리수가 0 또는 짝수

3의 배수 : 각 자리수의 합이 3의 배수

4의 배수 : 끝의 두 자리가 4의 배수

5의 배수 : 일의 자리수가 0 또는 5

6의 배수 : 2의 배수 & 3의 배수인 수

8의 배수 : 끝의 세 자리가 8의 배수

9의 배수 : 각 자리수의 합이 9의 배수

10의 배수 : 일의 자리수가 0

 

7의 배수와 11의 배수도 판정법이 있는데, 7은 배수 판정법을 쓰는 것보다 직접 나누는 편이 더 편하고, 11의 경우에는 대칭성을 이루는 데 이건 나중에 기회가 되면 써둘게요. 그렇지만 위의 8가지 판정법은 꼭꼭 기억해두시는 게 좋습니다!

 

그럼 다음에 만나요!