교과서 점화식 연습용 문제 모음 (표현법까지만+문제만)

사실 지금 작성하는 중인데... 일단 문제가 뭐가 있는지 궁금해 하시는 분들이 많을 거 같아 문제부터 올립니당..! 풀이는 찬찬히 올릴게요! 점화식 뭐가 있는지 궁금하신 분들 훑어보시라고 일단 먼저 공개합니당 :-)

점화식 세우기 연습

 

점화식을 푸는 건 이전 교육과정에 비해 많이 약해졌지만, 기본적인 식을 세우는 것 정도는 알아 두시는 편이 좋습니다. 오늘은 교과서에도 나오는 대표적인 점화식이 왜 그렇게 세워지는지 정도만 다뤄볼게요.!

 

 

하노이의 탑

고대 인도의 베나레스의 한 사원에는 가운데에 작은 구멍이 뚫린 64개의 금으로 된 원판이 끼워져있는데, 가장 큰 원판이 바닥에 놓여 있고, 나머지 원판들이 점점 작아지며 꼭대기까지 쌓여있다. 전설에 따르면 다음 규칙으로 원판을 하나씩 옮겨 64개의 원판을 처음 놓여 있던 막대에서 다른 막대로 모두 옮기면 이 세상의 종말이 온다고 한다.

 

[규칙1] 한 번에 한 개의 원판을 한 막대에서 다른 막대로 옮길 수 있다.

[규칙2] 작은 원판 위에 큰 원판을 올려놓을 수 없다.

 

규칙에 따라 막대 A에 있는 n개의 원판을 다른 한 막대로 옮기기 위하여 필요한 최소 이동 횟수를 an이라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.

 

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피보나치 수열 (토끼문제)

피보나치는 토끼가 번식하는 과정을 보면서 다음과 같은 토끼 수의 증가 문제에서 피보나치 수열을 발견하였다.

 

갓 태어난 암수 한 쌍의 토끼는 두 달 후부터 매달 암수 한 쌍의 새끼를 낳는다면 암수 한 쌍의 새끼 토끼가 n째 달에는 몇 쌍으로 불어나 있겠는가?

 

첫째 달에는 갓 태어난 암수 한 쌍의 토끼가 있고 둘째 달에는 어미가 된 첫째 달의 암수 한 쌍의 토끼가 있고, 셋째 달에는 한 쌍의 어미가 한 쌍의 새끼를 낳아 모두 두 쌍이 된다. 넷째 달에는 한 쌍의 어미가 또 한 쌍의 새끼를 낳아 모두 세 쌍이 되고 다섯째 달에는 어미가 또 다시 한 쌍을 낳고 새끼도 어미가 되어 한 쌍을 낳아 모두 다섯 쌍이 된다.

 

따라서 매달 암수 쌍의 수를 수열로 나타내면 1,1,2,3,5, ...이고

이 수열의 제 3항에서부터는 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3과 같이 각 항은 그 전의 두 항의 합과 같다.

 

 

피보나치 수열은 우리 일상생활에서 나뭇가지나 솔방울, 해바라기의 씨, 파인애플 껍질의 비늘, 나선 모양의 앵무조개와 달팽이 껍질 등에서 발견된다.

 

 

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계단 오르는 문제

계단을 오르는데, 한 번에 1계단이나 2계단을 오르는 방법만으로 올라간다고 하자. n개의 계단을 맨 아래에서 맨 위까지 올라가는 모든 경우의 수를 an이라고 할 때, a1=1, a2=2이고 a3=a1+a2=3이다.

이 때 an, an+1과 an+2의 관계식을 구하여라.

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악수하는 문제

어느 부부 동반 모임에서 모인 사람끼리 서로 악수를 할 때, 다음 규칙을 따른다고 한다.

(가) 부부끼리는 악수하지 않는다.

(나) 부부가 아닌 사람끼리는 반드시 악수한다.

n쌍의 부부가 악수하는 총 횟수를 an이라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.

 

(1) a1, a2를 구하여라.

(2) an, an+1의 관계식을 구하여라.

(3) a10의 값을 구하여라.

 

지리산 등산 동호회 모임에 참석한 회원이 모두 한 번씩 악수하였다. 이 때 n명의 회원이 모인 모임에서 이루어진 악수의 총횟수를 an이라 할 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) a1, a2를 구하여라.

(2) an과 an+1의 관계식을 구하여라.

(3) a10의 값을 구하여라.

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2개의 조로 나누는 문제

1) 새로 들어온 애가 기존 조를 선택하는 경우 2개

2) 지 혼자 조가되고 나머지 모두 하나가 되는 경우 하나

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어떤 배양액 안에 두 화학 물질 M,F를 넣으면 1시간 후에 다음과 같이 변한다. 이 용기 안에 M을 한 개 넣을 때, 6시간 후 M, F의 총 개수를 구하여라.

(가) M은 F로 변한다.

(나) F는 M과 F 두 개로 분리한다.

 

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풀고 싶으면 대입해서 구하거나, 아래 포스팅 참고하여 일반항 구해서 풀어볼 것

 

https://ladyang86.tistory.com/133

점화식 an+1=pan+q꼴 일반항 알고리즘 및 예제