오늘은 삼각함수의 각 변환을 모두 정리해보도록 할게요.
증명은 그래프를 이용하기 보다는, 삼각함수의 정의를 이용해서 해볼 예정입니다. 그래프를 이용한 증명은 다음번에 한 번 해보도록 할게요.
삼각함수의 정의
중심이 원점이고, 반지름이 r인 원 위의 점 P(x, y)에 대하여
동경 OP가 나타내는 각을 θ라 합시다.
θ에 대한 함수를 차례대로
sinθ=y/r
cosθ=x/r
tanθ=y/x라고 정의합니다.
이제 다른 사분면에서 각이 변할 때마다 P(x,y)가 어떻게 변하는지 관찰해 볼게요.
0. 2nπ+θ는 θ와 같으므로 그대로 씁니다.
1. -θ는 θ와 동경의 y좌표 부호가 다릅니다.
그래서 삼각함수를 구해보면 cos 함수는 영향이 없고 나머지 두 함수는 부호가 바뀌게 되죠.
이번엔 π-θ, π+θ도 같이 알아보도록 할게요.
2. π±θ의 삼각함수
π±θ의 경우는 (x,y)의 절댓값은 같지만 각각 부호가 아래와 같이 다릅니다.
그래서 삼각함숫값을 구해보면, 부호만 달라지는 걸 알 수 있어요.
와.. 쌤..
이걸 통째로 다 외워야 하나요?
어.. 그럼 너무 힘들겠죠.?
우리가 유도를 했으니
관찰을 한 번 잘해봅시다.
우선 주어진 동경들은
단지 부호만 바뀌었을 뿐이죠.
그 마저도 각 동경이 위치한
사분면에 따라 삼각함수의 부호를
결정해 주시면 됩니다.
즉, -θ, π±θ는 삼각함수 자체에는 변화가 없고, 부호만 신경 써서 해주시면 됩니다.
3. (π/2)±θ, (3π/2)±θ 의 삼각함수.
움직이는 각도가 π가 아닌
(π/2)±θ, (3π/2)±θ가 되면
좌표에 변화가 생깁니다.
좌표의 위치가 바뀌었으므로
이동된 동경의 삼각함숫값은
원래 θ의 삼각함수와 비교하였을 때,
sin은 cos으로
cos은 sin으로
tan는 역수로(cot로) 바뀝니다.
전체 사분면에 대해서 다 살펴보면,
아래와 같습니다.
규칙은 동일하고
사분면에 따른 부호만 주의하시면 됩니다.
동경의 위치로 보니 이해가 잘 되시나요?
π±θ : 부호만 바뀌므로 판별
(π/2)±θ, (3π/2)±θ : 좌표 위치가 바뀌므로 부호와 함께 삼각함수의 변화도 신경 써야 한답니다.
우리가 각 변환을 할 때는 θ가 예각일 때 주로 쓰죠?
그래서 사분면 판단하실 때도 θ가 예각이라고 생각하시면 됩니다.
(물론 둔각일 때도 공식 자체는 성립합니다.)
포스팅 내용 기반으로 간단하게 영상도 촬영해보았습니다. 해당 내용이 잘 이해가 안된다면 같이 시청하시면 도움이 될 거에요!
이론 뿐만 아니라 실제로 문제를 왕창 풀어봐야 실력이 늘겠죠?
내용 리마인드 했으면 아래 포스팅으로 가서 문제도 왕창 풀어서 실력을 늘려 봅시다 :-)
삼각함수 각 변환 연습 문제 모음
교재에 실려 있는 삼각함수의 각 변환 공식 문제가 연습용으로 충분치 않은 것 같아서 싸그리 모아봤습니다. 오늘 포스팅에 들어있는 문제만 다 풀면, 더 이상 각변환 문제는 어렵지 않을 거에
ladyang86.tistory.com
삼각함수의 각 변환 문제는 처음 배울 때는 힘들더라도,
기본 중의 기본이고, 수능까지 가져가야 하는 부분이므로
열심히 공부하시길..!
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