[원과 직선] 꿀팁 - 내접원의 길이 비

중3 내신에서 사용할 수 있는 유용한 꿀팁을 하나 알려 드리겠습니다.

 

증명 다 한 다음, 예제 풀고 정리해드릴테니,

여러분은 이해한 다음 공식을 외워서

빠르고 편하게 문제를 풀면 되겠죠?

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아래 그림과 같이 두 원 P, Q는 서로 외접하고 동시에 지름의 길이가 R인 반원 O에 내접합니다. 접하는 세 원들의 반지름 길이비를 구해볼게요.

 

원끼리 반지름이 반, 반의반.. 뭐 이렇게 간다고 외우셔도 됩니다.

 

이제 증명 해볼게요. 

원P의 지름 = 원O의 반지름이므로,

비율이 2:1이 되는 것은 쉽게 알 수 있습니다.

 

 

작은원 Q의 반지름을 r, 큰 원 O의 반지름을 R이라고 두고, 중심끼리 연결한 보조선과 접선에 내린 수선의 발을 같이 그려줍니다. 이 과정은 원을 보면 항상 해봐야 하죠.

 

그리고 가장 큰 원 O의 중심과 가장 작은 원 Q의 중심도 연결해줍니다. 그림에서 보이는 빨간 형광펜 선이죠.

원 안에 다 그리자니 복잡하군요. 그래서 삼각형 POQ만 따로 모양을 관찰하려고 아래와 같이 가져 왔습니다.

 

Q에서 선분 PO에 수선의 발을 내리면 각각 노란색, 빨간색 직각삼각형이 나오니, 이 둘의 공통변을 이용하여 식을 정리해줍니다. 

결론 : 큰 원의 반지름 R = 가장 작은 원 반지름 r의 4배

정리하자면 이렇죠.

 

이제 문제를 풀어볼까요?

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예제

아래 그림과 같이 두 원 P, Q는 서로 외접하고 동시에 지름의 길이가 20인 반원 O에 내접한다. 이 때 원Q의 둘레의 길이를 구하여라.

 

정답 : Q의 반지름은 5/2이므로 둘레의 길이는 5π

 

다음에도 좋은 꿀팁 있으면 갖고 오겠습니다 :-)