우함수, 기함수 곱/합성 성질 정리

우함수와 기함수를 곱하면? 기함수에 우함수를 합성하면?

이런 것 궁금하셨던 분들 주목!

오늘은 수학(하)와 수학2에서 나오는 우함수와 기함수에 대해 정리를 해보도록 하겠습니다. 사실은 수학(하)의 함수파트에서 배울 수도 있고, 안 배울수도 있어요. 교육과정에 필수 포함된 내용은 아니거든요. 근데 수학2에서는 꼭 나옵니다.

알아요.. 지금 ↑이럴 여러분들의 표정

그리고 수학2에서도 이게 본 내용은 아니에요. 그래서 수학(하)에서 배우지 않았더라면 알아서 학습해야하는(?) 부분입니다. 조금 억울할 수는 있겠지만.. 뭐.. 네.. 그냥 공부 열심히 합시다.

우선 우함수는 y축 대칭인 함수입니다. f(-x)=f(x)로 표현이 되죠.

 

기함수는 원점 대칭인 함수입니다. g(-x)=-g(x)로 쓸 수 있어요.

 

일반적으로 증명은 주어진 함수에 x 대신 -x를 넣고 어떻게 정리되는지 관찰하면 됩니다. 덧셈과 뺄셈의 경우에는 유의미한 결과가 안 나오지만 곱셈과 합성에 관해서는 나름 유의미한 결과가 나오죠.

 

1. 우함수, 기함수 곱에 관한 성질

 

우함수 x 기함수,

기함수 x 기함수,

우함수 x 우함수

세 가지 경우 모두 다 구해보았습니다. 

정리해보자면, 

우함수 x 기함수 = 기함수

기함수 x 기함수 = 우함수

우함수 x 우함수 = 우함수

이렇게 나오는군요 :-)

 

2. 우함수, 기함수 합성에 관한 성질 

마찬가지로 우함수와 기합수를 합성도 해보았습니다. 곱셈은 교환법칙이 성립되니 하나만 했지만, 합성은 교환법칙이 성립되지 않기 때문에 총 4가지 경우를 모두 다 해보았어요.

 

우함수 ｏ 기함수

기함수 ｏ 우함수

우함수 ｏ 우함수

기함수 ㅇ 기함수

 

증명을 보기 전에 결과가 어떻게 나올지 한 번 예상 해보세요 :-)

우함수 ｏ 기함수 = 우함수

기함수 ｏ 우함수 = 우함수

우함수 ｏ 우함수 = 우함수

기함수 ㅇ 기함수 = 기함수

 

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사실 합성과 곱셈 모두 증명을 했지만, 실전에서 헷갈린다면 증명을 하기보다는 간단한 예시를 들어서 바로 판단하시는 게 좋습니다. 예를 들어, 우함수 x 기함수가 기억이 안나면, 우함수인 x²과 기함수인 x를 곱해보는 거죠. 그러면 x³이 나오는데 이건 기함수이므로, 우함수 x 기함수 = 기함수로 쓰시면 됩니다.

 

그리고 우함수와 기함수를 더하고 빼는 건 아무 함수도 아닙니다. 꼭 우함수와 기함수를 어쩐다고 해서 결과가 둘 중 하나로 나오진 않아요. 

 

우함수와 기함수는 실전에서 매우 유용하게 쓰이는 성질이므로, 꼭 한 번 정리하고 가도록 하세요 :-) 그럼 다음에도 유용한 포스팅으로 돌아올게요!