한량 지아이의 수학 LIFE

내신 시험에서 볼 법한 나머지 정리 문제를 모아 보았습니다. 조립제법 이용하여 직접 나누는 유형부터 일반적인 유형서 문제지에서 훈련이 잘 안 되는 문제 위주로 다뤄보려고 합니다. 문제와 정답 먼저 업로드 합니다. 문제1. 2021-1-1-m 창덕여고 #8 x에 대한 다항식 x¹²+x+1을 x ²-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라 할 때, Q(1)의 값은? (단, Q(x), R(x)는 x에 대한 다항식이다.) 정답 : 6 문제2 2020-1-1-m 종촌고 #23 다항식 x^20을 (x-1)²으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b라 할 때, a-b의 값을 구하시오. (단, a, b는 상수) 정답 : 39 (a=20, b=-19) 문제3 2019-1-1-m 고운고 서술#5 삼차다항식 f(x..

두 일차식의 곱으로 인수분해 되는 유형을 풀 때, 저는 판별식의 판별식(D of D)을 쓰기보다는, 그냥 상수항 인수분해+전체 인수분해로 대부분 푸는 편입니다. 대부분의 경우 이게 더 간단하거든요. 그렇지만 가끔 판별식 쓰는 경우가 더 편한 경우도 있어, 오늘 문제 하나 갖고 왔습니다. 문제 * 사실 이 부분 공부를 많이 한 학생들은 f(x), g(x)를 다 쓰지 않아도, 나머지 정리 바로 써서 R(x)+R '(x) = 2x+2, R(x)R '(x)=a(x^2+x+1)+17x-5 Step3로 바로 넘어가셔도 됩니다. 우리가 구하는 R(x), R'(x)가 일차식이므로, 구한 해에 근호가 있으면 안되겠죠..? 여기서 D'이라고 쓴 판별식은 원래 t로 세운 이차방정식의 판별식 D/4의 판별식입니다. 이걸 보통..

도형의 이동에서 주로 다루는 선대칭 최단거리 기본 문제를 다 푸셨다면 도전해볼만한 고난도 문제를 몇개 실어봅니다. 이론과 기본 문제는 아래 포스팅 참고하시면 됩니다. (사실 기본기만 알아도 정점을 주는 대부분의 문제는 거의 다 풀립니다.) 도형의 이동 - 선대칭 최단거리 푸는 방법 (거리합의 최솟값) 고1 수학에서 배우는 최단거리 구하는 방법에 대해 오늘 알려드리고자 합니다. 기본적으로 필요한 배경지식은 아래와 같습니다. 오늘 배울 상황은 아래와 같습니다. 이 문제를 푸실 때는 반드시 ladyang86.tistory.com 이번에 실은 문제들은 건너야 하는 강이 2개인 문제와 동점으로만 구성된 문제들이에요. (문제와 풀이는 틈틈이 업데이트 될 수 있습니다.) 문제1 아래 그림과 같이 AB=√5, BC=3..

고1 수학에서 배우는 최단거리 구하는 방법에 대해 오늘 알려드리고자 합니다. 기본적으로 필요한 배경지식은 아래와 같습니다. 오늘 배울 상황은 아래와 같습니다. 이 문제를 푸실 때는 반드시 그래프를 그리셔야 합니다.!! 우선 알고리즘을 가볍게 살펴볼까요? 1. 동점(움직이는 점), 정점(고정되어 있는 점) 파악 2. 정점을 동점이 움직이는 직선에 대하여 대칭 : 이 때 점들이 여러 개가 나올 때는 이웃하는 점끼리 살펴봅니다. 3. 그래프에서 길이가 직선이 되는지 확인해보고 문제에서 물어보는 값을 구합니다. 실전에서 문제를 풀어보면서 단계를 하나씩 익혀보도록 해요. 예제1 점 A(-3, 2)에서 y축 위의 점 P를 거쳐 점 B(-1, -2)까지 가는 최단거리는? 이 단원에서 가장 중요한 건 그래프를 그리면서..

고대 그리스 수학자인 아폴로니우스가 발견한, 아폴로니우스의 원을 다루어 보려고 합니다. 아폴로니우스의 원 정의 : 두 점으로부터 거리의 비가 일정한 점들의 집합 두 정점으로 부터 거리의 비가 m:n이 되는 점 P(x,y)의 자취를 구해봅시다. 여기서 원이 되려면 m과 n은 달라야겠죠? 만약 m=n이라면, 이차항이 모두 소거돼서 직선이 나온답니다. (수직 이등분선) 아폴로니우스의 원의 기하학적 의미 : 두 정점을 m:n으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝으로 하는 원 아폴로니우스의 원 관련 대표 유형 몇 가지를 풀어볼게요. 문제1 (기본유형 - 원의 방정식 구하기) 두 점 A(3, -1), B(-3, 5)로부터의 거리의 비가 1:2인 점의 자취는 원을 나타낸다. 이 원의 반지름의 길이는? 문제2..

나머지 정리 문제 중, 고차식과 함께 등장하는 고난도 내신 문제를 몇 개 풀어볼게요. 문제 1 따라서 구하는 나머지는 2입니다. 문제2 문제 3 허근 w 쓰는 유형, x^n-1=0을 이용하는 유형, 합과 곱을 이용하여 차수를 낮춰 푸는 유형 등 고난도 문제는 다양합니다. 새로운 유형을 발견하면 더 추가하도록 할게요.

오늘은 고난도로 종종 나오는 복소수의 실수 조건을 응용한 문제 몇 개를 풀어 보겠습니다. 복소수의 성질 하나만 살펴볼게요. pf) z=a+bi라고 두면, 주어진 식은 a+bi = a-bi이므로 2bi=0, 즉 b=0이 되므로 z는 실수가 됩니다. 이 명제는 역도 참입니다. 즉 어떤 복소수가 실수라고 주어지면 켤레를 취해도 둘이 같다는 성질! 실전에서 문제를 풀면서 좀 더 익혀보도록 합시다. 문제 1 주어진 복소수가 실수이므로 켤레를 씌워도 둘이 같습니다. 이후로는 식을 정리해주시면 돼요. 만약 식 자체가 그리 복잡하지 않다면, z=a+bi를 넣고 실수화 하셔도 됩니다. 하지만, 바로 아래 문제2와 같이 대입해서 푸는 게 힘든 문제도 있으니 이 방법도 꼭 알아두세요! 문제2 문제에 딸린 조건이 많네요. s..

오늘은 부호 조건에 대해 간단하게 리마인드해볼게요! 위의 식을 봤을 때, 오른쪽에 짤린 것처럼 보이는 5개의 식이 자연스럽게 나오지 않는다면, (혹은 5개나 있었어? 라고 되묻는다면-) 오늘의 포스팅 주목하셔야해요. 위는 고1때 복소수 단원을 학습 할 때 주로 등장합니다만, 이후에도 다른 것들과 연결해서 종종 나옵니다. 예를 들면, 수1의 로그조건이라던가..? 뭐.. 아무튼 그래서 내용을 잘 모르더라도 기계적으로라도 공식을 알고 있어야 해요. 실제로 숫자가 들어있어서 계산을 할 때는 공식을 이용해서 쓰려기보다는 숫자를 다 i로 바꾸어서 계산 하는 편이 덜 헷갈립니다. 만약 조건이 각각 a

오늘은 복잡한 식의 인수분해 중, 문자가 3개 나오는 유형을 연습해 보겠습니다. 우선은 복잡한 식의 인수분해를 어떻게 풀어야 하는지 알고리즘부터 살펴봅시다. 복잡한 식의 인수분해 항의 개수가 5개가 넘어가거나, 주어진 문자가 2개 이상인 경우 사용합니다. ① 가장 낮은 차수의 문자로 내림차순 정렬합니다. (같으면 아무거나-) ② 상수항 부분을(①에서 정렬한 문자 기준) 먼저 인수분해합니다. ③ 전체 인수분해를 합니다. 아무래도 등장하는 문자가 많으면 힘들긴 하죠. 예제에서는 주로 a, b, c 세 문자로 통일하여 풀어보았답니다. 같이 풀면서 익혀봅시다.! 예제 1 a, b, c가 삼각형의 세 변일 때 아래 식을 만족하는 삼각형은 어떤 삼각형인가? a³+a²b-ac²+ab²+b³-bc²=0 예제 2 다음 ..

복소수에서 순허수 조건이나 실수조건 간단하게 정리해봅시다. 복소수 z= a+bi (a, b는 실수, i는 √(-1)) z가 실수 ⇔ b=0 z가 순허수 ⇔ a=0, b≠0인 건 복소수를 맨 처음 정의하면서 배우죠. 특히나 순허수의 경우 제곱하면 음수가 나오기 때문에 이를 활용한 문제가 종종 나온답니다. 예제를 통해 가볍게 문제를 풀어봅시다. z가 벌써 전개하면 항이 6개가 나오는데 이걸 제곱해서 실수부분/허수부분으로 나누려는 생각은 no! z가 순허수라면 제곱해서 음의 실수가 되므로 z만 가볍게 정리해줍니다. 문제에서 n은 자연수라고 했으므로 정답은 7만 가능합니다. 문제 1 항의 개수를 보세요. z를 직접 제곱하는 건 지양하는 게 좋겠죠? 간단하게 리마인드 해보면, z의 제곱이 음의 실수가 되어야 하므..