[부분 분수] 분수 꼴로 이루어진 수열의 합

수학(하)에서 유리함수 배울 때, 유리식을 추가로 배우셨다면 그 때 나오는 내용이고

아니라면 수학1 수열의 합에서 정식으로 다루게 됩니다.

부분 분수란?

어떤 분수의 분모를 n이라 할 때, 분모가 n의 약수인 분수들의 합이나 차로 나타내는 것을 부분분수 분해 또는 부분분수 전개라고 합니다. 예컨대 분모가 큰 수를 좀 더 가볍게 만들기 위한 방법이랄까요?

 

고등학교에서는 부분 분수가 수1 수열의 합, 미적분 적분 단원에서 나온답니다. 

 

우리는 간단한 부분분수 분해 정도만 해볼거에요.

 

식은 아래와 같습니다.

우변을 통분 해서 정리해보시면 

두 식이 같다는 걸 쉽게 알 수 있습니다.

 

중요한 건 실제로 공식을 외워서

문제를 푸는 데 있죠.

 

간단한 연습 한 번 해볼까요?

---

분수 꼴로 나타낸 수열의 합

이제부터는 실제로 문제를 풀면서

좀 더 익혀봅시다.

---

예제 1

다음 주어진 수열의 합을 구하여라.

부분분수 전개를 이용했을 때,

앞뒤로 붙어있는 숫자가

바로 안 사라지죠?

 

이럴 때는 가로식을 계속 써서

불편하게 지워가는 것보다,

세로식으로 더하는 편이

더 보기가 쉽습니다. 

세로식을 쓰면 항의 개수가 같으므로

왼쪽에서 안 지워진 항의 개수만큼

오른쪽에서 남습니다. 

그래서 계산할 때 누락되는 부분이 없어요. 

---

예제 2

아래 주어진 수열의

첫 항부터 n항까지의 합을 구하여라.

우선 n항까지의 합을 구하라고 하니

규칙을 파악해서 일반항을 구해줍니다.

이제 n항까지 쭉~더해볼게요. 

인수분해 하여,

부분 분수로 분해 하면 끝!

---

예제 3

아래 주어진 수열의

첫 항부터 n항까지의 합을 구하여라.

n번째 항까지 더해야 하므로

일반항을 구해줍니다. 

계산 할 때 꼭 시그마 기호를 쓸 필요는 없습니다.

공식이 따로 없거든요.

 

어차피 부분분수로 분해하여

더해서 소거시켜야 하잖아요?

---

분수꼴로 표현되는 수열의 합에서는 

분모에 B-A 빼먹지 않는 것과,

소거가 덜 되는 항을 잘 남기는 것에 유의하면

어렵지 않으실 거에요.

 

그럼 다음에 또 유용한 포스팅으로 돌아올게요!