[중복조합] 부정방정식의 정수해 조건 부분

이전에 중복조합의 다양한 예시에서 배웠던 것들 기억하시죠?

여기서 가장 중요하게 다루었던 부분이 부정방정식의 정수해입니다. 오늘은 이 부분을 좀 더 자세하게 살펴볼 거에요.

 

https://ladyang86.tistory.com/27?category=791745

[중복조합] 대표 예제 5개와 함께 이해하며 외우기

부정방정식의 정수해 문제는 해당 문자가 ‘음이 아닌 정수해’인 경우에만 H로 바꿀 수 있습니다. 

 

즉, 자연수, 짝수 등 다른 조건이 붙으면 H로 바꿀 수 없기 때문에 변환을 시켜줘야 해요. 

실제로도 부정방정식의 정수해 문제는 변수 치환이 가장 중요한 이슈입니다. 치환 시 일대일 대응이 되는지 검토해보면 좀 도움이 되겠죠?

 

 

예시

1. x+y+z+w=18을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수

   기본 꼴이므로 4H18로 계산하면 됩니다.

 

2. x+y+z+w=18을 만족하는 자연수 해의 개수

   자연수는 x가 1부터 시작하죠. 우리가 치환해야 할 문자 x'은 0부터 시작하므로 이를 맞춰주려면, x=x'+1로 두면 됩니다. 그럼 x가 1,2,3,4... 일 때, x'은 0,1,2,3...으로 일대일 대응됩니다.

 

   나머지 문자도 동일하게 치환하면, x'+1+y'+1+z'+1+w'+1=18이죠. 식을 이항하면 x'+y'+z'+w'=14이므로 4H14가 됩니다. (이 때, x',y',z',w'은 모두 음이 아닌 정수해를 만족합니다.)

 

3. x+y+z+w=18을 만족하는 홀수해의 개수

  홀수는 1,3,5,7,... 인데 치환할 문자는 0,1,2,3... 으로 시작하니, 이를 맞춰주려면 x=2x'+1로 두면 됩니다. (공차가 2인 등차수열을 떠올리면 좀 더 쉽겠죠? 이 때 x'이 0부터 가능하다는 걸 같이 고려해야 합니다.

 

  나머지 문자도 동일하게 치환하면, 2x'+1+2y'+1+2z'+1+2w'+1=18이므로 이항하면 2(x'+y'+z'+w')=14. 양변을 2로 나눠주면 x'+y'+z'+w'=7이므로 구하는 답은 4H7이 됩니다.

 

4. x+y+z+w=18을 만족하는 짝수해의 개수

   짝수에 0이 포함되어 있다면 그냥 x=2x'으로 두면 되지만, 2,4,6,8...로 간다면 x=2x'+2로 두셔야 합니다. x'은 0부터 가능하니까요.

  나머지 문자도 동일하게 치환하면, 2x'+2+2y'+2+2z'+2+2w'+2=18이므로 이항하면 2(x'+y'+z'+w')=10. 양변을 2로 나눠주면 x'+y'+z'+w'=5이므로 구하는 답은 4H5가 됩니다.

 

5. x+y+z+w=18을 만족하는 3으로 나눈 나머지가 1인 해가 둘, 3으로 나눈 나머지가 2인 해가 둘인 경우

  마찬가지로 치환할 때는 x=3x'+1 혹은 x=3x'+2로 하시면 됩니다. 다만 문자 중 어떤 것이 나머지가 1, 2인지를 정하는 것도 고려해야겠죠?

 

  이 중 x,y/z,w를 각각 나머지가 1/2인 수인 경우를 살펴본다면, 

  3x'+1+3y'+1+3z'+2+3w'+2=18, 정리하면 3(x'+y'+z'+w')=12이므로 x'+y'+z'+w'=4가 됩니다. 

  그래서 정답은 4C2(나머지가 1인 문자 선택) x 4H4가 됩니다.

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추가문제

다음 조건을 모두 만족시키는 모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수를 구하시오. (단, x, y, z, w는 모두 자연수)

(가) x+y+z+w=15

(나) x, y, z, w중 3의 배수는 하나 뿐이다.

정답 : 120개

 

이건 3으로 나눈 나머지 분류법도 같이 기억하셔야 되는 문제입니다.

 

부정방정식 정수해 문제 꼭 해야 하는가?

부정방정식 정수해 문제는 수능/평가원 단골 출제 예상 문제입니다.

 

게다가 문제 조건을 보고 중복조합을 사용한다는 아이디어를 떠올리는 것이 꽤나 어렵습니다.

그래서 이미 출제된 중복조합 이슈들은 익혀두는 게 중요합니다.

 

특히 변수 변환은 정말 중요한 파트니, 치환후에도 맞는지 꼭 검토까지 해주세요.

 

그럼 다음에 또 봐요.^^