[원순열] 정다면체 색칠하는 경우의 수 (5가지 모두 같은 방법으로 다룸)

오늘은 원순열에서 많이들 헷갈리는 정다면체 색칠하는 방법의 수에 대한 포스팅입니다.

정다면체가 다섯 종류만 있는 이유

우선 정다면체는 다섯 종류만 존재합니다. 왜 그런지는 사실은 중학교 1학년 때 배웁니다. 가볍게 설명해볼게요.

 

평면도형을 합쳐서 입체를 만드는 것인데 입체를 만들려면 한 꼭짓점에 평면도형을 세 개 이상 모아야합니다.

 

정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체를 생각해보면, 
  ① 정삼각형 세 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정사면체 
  ② 정삼각형 네 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정팔면체 
  ③ 정삼각형 다섯 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정이십면체 

요 세가지가 가능합니다.

 

 

정삼각형을 한 꼭짓점에 여섯 개 모으면 평면이 되므로 입체도형 만드는 것이 불가능하죠.

다른 정다각형도 살펴본다면, 정사각형으로 만들 수 있는 정다면체는 정육면체가 유일합니다. 네 개를 모으는 순간, 평면이 되어버리거든요. 마찬가지로 정오각형으로 만들 수 있는 정다면체도 정십이면체가 유일합니다.

그리고 정육각형의 경우에는 3개를 모으는 순간 평면이 되기 때문에 입체도형을 만들 수가 없습니다. 

 

내각이 120도보다 더 큰 다른 정다각형으로는 당연히 입체를 못 만들겠죠? 

그래서 정다각형은 아래 5가지 종류가 전부입니다.

이제 본격적으로 이걸 색칠해보도록 할게요!

 

한 면을 고정시키고 색칠하는 방법

사실 대부분의 해설지에서 설명하는 방법입니다. 특정한 색깔 하나를 고정하고 나머지를 원순열로 돌려가며 색칠하는 방법이죠. 

 

다만, 사면체와 육면체 정도는 쉬운데, 나머지는 조금 어렵습니다. 게다가 팔면체가 되는 순간부터 밑면을 고정하고 '맞은편'에 칠하라는데.. 이게 쉽게 와닿지가 않죠. 그래서 일단 한 면을 고정하고 그 옆면부터 칠해가는 방법을 사용해보겠습니다. 옆면을 원순열로 칠한 시점부터 그건 더 이상 회전한다고 같은 도형이 아니거든요. :-)

 

그래서 정다면체 5가지를 

아래 순서대로 모두 색칠해 볼 예정입니다.

 

1. 한 면 고정

2. 붙어있는 옆면 색칠

3. 나머지는 걍 색칠

 

정사면체

 

정육면체

 

보통 정육면체까지는 도형 자체의 모양이 쉽기 때문에, 한 면을 고정 후 반대편을 색칠하고 나머지 옆면을 원순열로 푸는 아래 풀이가 일반적입니다. 

그런데 어차피 한 면을 고정해뒀으니 옆면부터 칠하고 남은 걸 위에 칠해도 똑같겠죠? 논리적 통일성을 위해서 고정된 면에 붙어있는 면부터 칠해봤습니다.

 

정팔면체

 

맞은편의 면을 칠한다고 하면, 어디가 맞은편인가 고민되시는 당신을 위한 풀이입니다.

:-)

우선 한 면을 고정하는 건 동일합니다. 그리고 삼각형이니 옆의 세 면을 색을 골라 원순열로 칠해줍니다. 색칠이 끝나고 나면 남은 자리는 순서가 정해지기 때문에 그냥 순열이죠.

정십이면체

정이십면체

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다시 복습해볼까요?

 

1. 한 면 고정

 

2. 붙어있는 옆면 색칠

(이 때는 원순열)

 

3. 나머지는 걍 색칠

(옆면을 이미 색칠 했으므로 더 이상 원순열이 아님)

 

한 면을 고정하여 원순열로 칠하는 순간 더 이상 회전하지 못하기 때문에 그 다음은 일반순열로 색칠하는 것입니다. 다른 원순열 문제도 이렇게 풀죠.ㅎㅎ

 

정다면체 문제는 사실 이 것 말고도 전체를 색칠 한 후, 회전하는 부분을 나누어 직접 고정을 시켜주는 방법도 있습니다. 나중에 기회되면 같이 포스팅 할게요 :-)