무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계 - 반드시 그래프 그려야 하는 이유

제 경험상, 대부분의 학생이 그래프 그리는 것을 별로 좋아하지 않더라고요. (특히 문과 성향이면 거의 95%..) 

 

그러나 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계는 반드시 그래프를 그려서 풀어야 하는 문제입니다.

우선 대표적인 예시 풀어보고,

왜 방정식으로만 풀면 안되는지도, 가볍게 설명을 해볼게요.

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<대표문제>

 

 

이 문제는 반드시 먼저 풀어본 다음 풀이를 봐주세요. 

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정답이 얼마가 나왔나요?

만약 정답이 -2≤m≤1이라고 나왔다면 높은 확률로 아마 그래프 안 그리고, 판별식만 이용해서 푸셨을 겁니다. 

 

이 문제의 올바른 풀이는 아래와 같습니다.

무리함수, 직선 둘 다 그래프로 그려서, 교점이 있도록 기울기를 설정해주시면 됩니다.

 

 

처음부터 바로 계산에 들어가지 말고, 위와 같이 m1, m2를 기준으로 답의 형태를 먼저 정하시는 걸 추천드립니다. (객관식의 경우에는 운 좋게 여기서 바로 답이 결정되는 경우도 있어요.)

 

제 풀이에 판별식은 등장하지만, 만난다고 하여 부등식을 쓰지는 않습니다. 이게 오늘 포스팅을 작성하는 가장 핵심적인 이유죠. 

 

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쌤~ 귀찮은데 그냥 그래프 안 그리고, 이차방정식 판별식으로 바로 풀면 안되나요?

네. 절대 안됩니다.

왜 안되느냐?

 

방정식을 풀기 위해 제곱하는 과정에서 무연근이 나오기 때문이죠. 

음.. 무연근이라는 용어가 어색할 수 있는데, 구한 답이 해가 아닐 수 있단 얘기입니다.  

 

아래 방정식을 한 번 보시고 어디서 잘못 되었는지 한 번 생각해보세요.

분명 이차방정식을 풀었을 때는 해가 1, 4 두 개가 나오는데, 이 걸 원래의 식에 다시 대입해보면, 답이 하나만 나옵니다. 왜 그럴까요?

 

그건 바로 식을 제곱하는 과정에서 나옵니다. 우리가 양변을 제곱할 때, 제곱해서 x가 나오는 식은 두 개가 있기 때문이죠. 그래서 그래프로 본다면, 원래는 √x=x의 해만 구해야 하는 걸, -√x=x의 해까지 같이 구해버린 것입니다.

나온 답을 다 일일이 대입해보지 말고 이걸 어떻게 판단하느냐?

그래서 그래프를 그려야 하는 것이죠!

 

그럼 다시 돌아가서..

제가 대표문제에서 나온 기울기 2개 중, -2는 그래프상 양수가 나와야 하는데 음수라 그냥 지웠다고 치고, 이 숫자는 왜 나온 걸까요?

이것 역시 두 무리함수와 직선을 연립했기 때문이죠.

즉, 파란 그래프와 직선이 접하는 부분의 기울기가 -2인 것입니다.

 

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기억해야 할 점

1. 무리함수와 직선의 위치관계는 반드시 그래프를 그려서 푼다.

2. 이차방정식의 판별식은 D=0인 경우만 사용한다.(부등식 사용 금지)

 

원래는 문제를 여러개 실을 생각이었는데, 그러니 자꾸 미뤄져서리.. 문항수는 나중에 좀 더 추가하도록 하겠습니다.