한량 지아이의 수학 LIFE

중3 교육과정 중 초반에 모두가 헷갈려하는 내용을 들고 왔습니다. 바로 제곱근의 정의에 관한 내용이죠. 지도하다 보면 오히려 연산은 학생들이 잘 따라오는데, 개념에 관한 내용을 헷갈리는 경우가 많더라고요. 그래서 오늘의 포스팅 준비했습니다. 우선 외워야 하는 내용부터 살펴봅시다. 제곱근은 처음 배우는 용어이기 때문에 정의를 명확하게 알아야 합니다. 1. x는 a의 제곱근이다. 2. x는 제곱하면 a가 된다. 3. x²=a 4. x=±√a 요 네 가지는 어설프게 알고 넘어가단 틀리기 쉬우니, 그냥 문장을 통째로 외웁시다. 손으로 다섯 번 정도 직접 써보세요. 이게 뜻이 같은 문장이 4개잖아요? 그래서 객관식에 답이 아닌 보기 하나를 더 추가해서 문제 내기가 참 좋답니다. 거의 뭐 1문제 정도는 무조건 나온..

사실 지금 작성하는 중인데... 일단 문제가 뭐가 있는지 궁금해 하시는 분들이 많을 거 같아 문제부터 올립니당..! 풀이는 찬찬히 올릴게요! 점화식 뭐가 있는지 궁금하신 분들 훑어보시라고 일단 먼저 공개합니당 :-) 점화식 세우기 연습 점화식을 푸는 건 이전 교육과정에 비해 많이 약해졌지만, 기본적인 식을 세우는 것 정도는 알아 두시는 편이 좋습니다. 오늘은 교과서에도 나오는 대표적인 점화식이 왜 그렇게 세워지는지 정도만 다뤄볼게요.! 하노이의 탑 고대 인도의 베나레스의 한 사원에는 가운데에 작은 구멍이 뚫린 64개의 금으로 된 원판이 끼워져있는데, 가장 큰 원판이 바닥에 놓여 있고, 나머지 원판들이 점점 작아지며 꼭대기까지 쌓여있다. 전설에 따르면 다음 규칙으로 원판을 하나씩 옮겨 64개의 원판을 처음..

지수로그함수와 직선의 교점 지수함수, 로그함수를 평행이동시킨 모양과 직선의 교점을 구하는 문제를 몇 개 다뤄볼까 합니다. 일반적인 방정식으로는 지수함수와 다항함수, 로그함수와 다항함수의 해를 구하기 힘듭니다. 그러니 교점이 주어졌다고 해서 직접 둘을 연립해서 푼다고 생각하지 마세요.! 직선의 경우에는 기울기를 적극 이용하셔야 하고, 지수/로그 함수는 어떻게 평행이동했는지를 잘 살펴보시면 의외로 쉽게 풀 수 있습니다. 예제를 몇 개 풀어보면서 익혀보도록 해요 :-) 문제 1 2022 수능특강 수학1 Ch2. Lv3 #1 우선 두 로그함수의 관계를 살펴봅시다. 밑이 같으므로 평행이동된 모습이죠. 그런데 마침 주어진 직선의 기울기도 -1/2입니다. 즉, P를 평행이동 시켰더니 Q가 된 것이죠! PQ와 AB의 ..

축에 접하는 원의 방정식 오늘은 축에 동시에 접하는 원의 방정식 중 두 축에 동시에 접하는 원을 다뤄볼까 합니다. x축에만 접하거나 y축에만 접하는 건 굳이 좌표의 절댓값과 반지름이 같다.. 고 외우기보단 전 항상 그래프를 그리는 게 습관이 되다 보니 절댓값을 쓰기보단 그냥 그림을 그려서 보게 되더라고요. 그렇지만 축에 동시에 접하는 원의 경우에는 중심도 y=x or y=-x위에 있기 때문에 훨씬 간단하게 풀 수 있습니다. 쉬운 문제들 보단 조금 난도가 있는 문제 몇 개만 같이 풀어보도록 할게요. 문제 1 중심이 곡선 y=x²-3x-3위에 있고, x축과 y축에 동시에 접하는 원은 4개 있다. 이 네 원의 중심을 각각 ABCD라 할 때, 사각형 ABCD의 넓이는 k이다. k²의 값은? x축과 y축에 동시에..

내외분점이나 무게중심 등을 이용하여 도형의 넓이비를 묻는 문제를 풀어보도록 할게요. 이런 유형을 풀기 전 중학교 2학년 때 배운 높이가 같은 두 삼각형의 넓이비를 알고 계셔야 합니다. 내외분점 위치만 잘 표기하고, 문제에 따라 차분히 도형을 제대로 그리기만 한다면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 같이 풀어보도록 해요 :-) 예제 1 평행사변형 ABCD의 대각선 BD의 중점을 M, △ABD의 무게중심을 G라고 하고, 선분 GD를 2:3으로 외분하는 점을 E라고 하자. △AED의 넓이는 △DGM의 넓이의 k배이다. 이때 k를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. 설명대로 그림을 그려봅시다. 평행사변형 ABCD 대각선 BD의 중점을 M △ABD의 무게중심을 G라고 하고, 선분 GD를 2:3으로 외분하는 점을 E라고..

오늘 다뤄볼 내용은 수열에서 많이 나오는 Sn과 an 사이의 관계에 관한 내용입니다. Sn과 an 사이의 관계 (수열의 합과 일반항 사이의 관계) 우선은 간단하게 수열의 합 Sn과 일반항 an 사이의 관계를 살펴봅시다. Sn은 수열의 첫번째 항부터 n번째 항까지의 합입니다. 즉 누적해서 쭉 더하는 거죠. 1항부터 차례대로 더해주면 됩니다. 그렇다면 n항까지의 합이나 (n-1)항까지의 합도 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 우리가 수열에서 구하고 싶은 건 일반항이므로 둘을 빼서 정리해줍니다. 그럼 아래와 같은 관계식이 나오는 군요! 그런데 여기서 잠깐..! 수열은 첫번째 항부터 정의되기 때문에 실제 수열에서는 존재하지 않는 항입니다. 따라서 첫번째 항의 경우에는 차로 쓰지 않고 a1=S1으로 정의해서 새로 써..

부분합으로 이루어진 수열 오늘은 등차수열과 등비수열의 부분합으로 이루어진 수열을 살펴볼까 합니다. 간단하게 결론부터 이야기하자면, 앞에서부터 차례로 같은 개수로 끊어서 더하면 등차수열의 합은 등차수열, 등비수열의 합은 등비수열이에요. 이걸 이용하면 빨리 풀 수 있는 문제가 많기 때문에 한 번 익힌 다음 오래오래 써먹어봅시다. 등차수열의 합은 등차수열 간단합니다. 등차수열을 n개씩 잘라서 더해볼게요. 즉, 합끼리의 차도 항상 동일하기 때문에, 이 역시 등차수열입니다. 문자로 쓰니 조금 어려운가요? 좀 더 쉽게 예제를 풀면서 익혀보도록 할게요. 예제 1 등차수열 {an}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 하자. S5=25, S10=75일 때, S15의 값을 구하시오. 앞에서부터 5개씩 잘라서 더한 다..

수학자가 주인공으로 나오는 영화 한 번 정리해봤습니다. (뭐.. 물리학이나 암호학 등도 포함이긴 합니다만..) 사실 저도 다 본 건 아닌데, 저도 시간이 나면 한 편씩 차차 관람해볼까 싶어서 네이버 평점을 기준으로 높은 순으로 정리 한 번 해봤습니다. 스샷은 모두 네이버 영화에서 갖고 왔습니다. 참, 실화를 바탕으로 한 경우에는 빨간 색으로 표기해두었어요. 수학자가 주인공인 영화 (혹은 수학이 영화 내에서 계속 나오는(?) 영화) 1. 굿윌헌팅 수학 영화 추천으로 검색하면 가장 먼저 뜨는 영화가 굿윌헌팅인듯합니다. 뛰어난 기억력과 수리능력을 가진 천재 청년이 어린 시절 학대 당하면서 굳게 닫혔던 마음을 열고 타인에게 다가가는 과정을 담은 영화라고 합니다. 아직 못봤는데 기회가 되면 봐야겠네요. 2. 히든..

탄젠트 그래프에서 점근선의 방정식 구하는 법 이게 보통 탄젠트 그래프 개형 배울 때 가장 어려운 부분이죠. 우선은 평행하지 않은 그래프를 기본으로 점근선의 방정식을 구하고, 그다음에 평행이동으로 반영해주면 됩니다. 1. 우선은 주기를 구합니다. 2. x=주기/2 + 주기n으로 점근선의 방정식을 세웁니다. 3. x축 평행이동을 반영해줍니다. 4. 식을 정리해주시면 됩니다. 탄젠트 함수 점근선의 방정식 관찰 해보기 우선 가장 기본적인 탄젠트 함수의 그래프를 살펴봅시다. 탄젠트 그래프를 관찰해보니 원점을 기준으로 대칭이라, 아래와 같이 점근선의 방정식 사이의 거리가 주기인 것이 보이네요. 그렇다면 x축 양의 방향에서 가장 먼저 나오는 점근선은 x=주기/2이 되겠군요! 그리고 주기만큼 계속 반복돼서 나옵니다. ..

부정방정식, 실수 조건일 때 해 구하는 방법 오늘은 부정방정식 중 실수 조건이 주어졌을 때 해를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 먼저 실수가 가진 성질을 생각해볼까요? 실수는 제곱하면 항상 0보다 크거나 같습니다. 즉 A가 실수이면 A²≥0이죠. 그래서 만약 두 실수 A,B가 있는데 A²+B²=0이라면 A=B=0일 수 밖에 없습니다. 실수 조건의 부정방정식에서, 완전제곱꼴로 모든 식을 바꿔줄 수 있다면 금방 풀 수 있습니다. 개인적으로는 주로 일차항을 보고 정리를 해주는데, 어렵다면 일단 하나의 문자라도 먼저 제곱식을 만들어 보세요. 그럼 나머지가 자동으로 나올 때가 많습니다. 문자나 숫자를 적절~히 쪼개서 완전제곱식을 만드는 거죠. 우선 연습을 좀 해볼까요? 다음 방정식을 만족시키는 실수 x,y의 ..