[이항정리] 이항계수의 성질 - 제곱꼴

오늘은 이항계수의 성질 중

제곱의 합으로 된 부분을 살펴보겠습니다.

 

보통 책에서 성질의 증명을 모두 다

항등식의 계수로 설명을 해두는 편이라

처음 배울때 이해가 잘 안된다는

의견이 많더라구요.

 

그래서 이해하기 쉬운

예시 위주로 설명해볼까 합니다. 

예시

남자 10명, 여자 10명 있는 반에서

청소를 할 10명을 고른다고 합시다.

전체 20명 중에서 10명을 뽑는 것이니,

20C10이 됩니다.

 

이 경우를 좀 더 상세하게 나눠볼까요? 

 

10명을 뽑는 경우는

1. 남 0 & 여 10

2. 남 1 & 여 9

3. 남 2 & 여 8

.

.

.

10. 남 0 & 여 10의 총 10가지 경우를

각자 계산해서 다 더한 것과 같습니다.

그런데 조합 C의 성질

덕분에, 이를 제곱으로 표현할 수 있죠.

일반화

남자 n명, 여자 n명인 반에서 

n명을 뽑는 경우의 수를 구해봅시다.

 

전체 2n명 중 n명을 택하는 것이므로

2nCn입니다.

 

여기서, 남자/혹은 여자의 숫자를 기준으로

식을 나누어본다면

1. 남0, 여n

2. 남1, 여n-1

3. 남2, 여n-2

.

.

.

n. 남n, 여0

의 모든 경우를 더한 것과 같습니다. 

 

여기서 같은 식은 제곱으로 표현해주면,

위와 같은 식이 나옵니다.

 

형태 자체를 외워주시는 게 중요합니다!

 

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같은 논리를 이용하여,

다른 식 하나도 살펴 봅시다.

 

예시2

남자 15명, 여자 20명 있는 반에서

10명을 뽑는다고 해봅시다.

 

남녀 35명 중 10명을 뽑으니

35C10이 됩니다.

경우를 쭉 나눠서 더하면

위와 같은 식이 나옵니다.

 

이건 제곱꼴과 달리

더 이상 정리는 안되네요. 

그렇지만 식의 형태 자체는

볼 줄 알아야 합니다.

 

물론 항등식을 이용해서,

계수로도 아래와 같이 설명 가능합니다.

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오늘 배운 부분 중

제곱꼴은 시험에서

굉장히 잘 나오기 때문에

꼭 학습하고 가야 합니다.

 

그럼 다음에도 유용한 포스팅

들고 올게요.^^