[원 접선의 방정식] 극선의 방정식

오늘은 알아두면 매우 강력한

내용을 배워볼까 합니다.

 

보통은 원의 방정식에서

가장 학습하기 어려워 하는 부분이

접선의 방정식입니다.

 

이 중에서도 극선에 관한 내용을 살펴볼거에요.

극선이 뭔가요?

원 밖의 점에서 원에 그은 접선은 항상 2개입니다.

그러니 접점도 항상 2개죠.

이 두 접점을 이은 직선을 극선이라고 합니다.

그러니까 l이 극선인 거죠!

 

극선의 방정식 구하는 법

* 아래의 모든 증명을 가시성을 높이기 위해

일부러 좌표를 서로 다른 문자로 썼습니다.

 

일반적인 교재에서는 해당 점을 모두

(x1, y1), (x2, y2)와 같이 표기하고 있으니

염두하고 보세요.

 

<증명>

(a,b)에서 원에 그은 두 접선을 l1, l2라고 합시다.

 

원 위의 점에서 그은 직선의 방정식은

쉽게 구할 수 있으므로 

l1과 l2를 각각 구해줍니다.

두 직선이 모두 원 밖의 점 (a,b)를 지나죠.

즉 (a,b)가 직선 위의 점이므로

식에 대입해도 성립합니다.

여기서 두 일차식을 살펴보면,

a,b,지름이 공통이네요.

 

이 계수를 살려서

일차식 한 번 만든 후 관찰을 해봅시다.

아니 이것은..!!

방금 구한 직선이 두 접점을 지나네요!

즉, 두 접점을 지나는 직선인

극선의 방정식이 구해졌습니다.

정리해볼까요?

쓰고보니 이 식이 되게 익숙하죠?

 

원 위의 점에서 그은 접선의 방정식과

생김새가 거의 비슷하기 때문에 그렇습니다.

극선의 방정식 vs 원 위의 점에서의 접선의 방정식

해당 점이 원 밖인지, 원 위인지

잘 판단하셔야겠죠?

 

예제1

중심이 (0,0)이고 반지름이 10인

원 위의 점 (6,8)에서의 접선의 방정식

vs

중심이 (0,0)이고 반지름이 4인

원 밖의 점 (6,8)에서 원에 그은

두 접점을 지나는 직선의 방정식

그래프 상의 차이를 잘 알아두셔요!

꼭 원점일 때만 가능한가요?

No!

원 위의 접점과 동일합니다.

 

어차피 평행이동 한 것이니

원리는 동일합니다.

 

예제2

중심이 (1,2)이고 반지름이 2인 원 

밖의 점 (10,3)에서 원에 그은

두 접선의 접점을 지나는

극선의 방정식을 구해보죠.

 

(x-1)(x-1) + (y-2)(y-2)=4로

식을 풀어준 다음,

(10,3)을 하나씩 대입하면

(10-1)(x-1)+(3-2)(y-2)=4입니다.

정리하면 9x+y=15가 됩니다.

 

참 쉽죠?

 

그럼 다음에도 쉽고 유용한 포스팅으로

찾아올게요!