삼차방정식 f(ax+b)=0의 근에 관한 문제 (합,곱 쉽게 풀기)

오늘은 삼차방정식에서

f(ax+b)=0꼴의 근에 대한

여러 문제를 좀 풀어볼까 합니다.

 

우선 아래 관계식을 한 번 살펴봅시다.

증명자체는 간단합니다.

애초에 방정식의 '근'이라는 것이

식을 참으로 만드는 x의 값이니까요.

 

즉 f(x)=0의 세 근이 α,β,γ라면

식의 x자리에 α,β,γ를 넣었을 때

성립한다는 뜻이죠.

여기서 f(cx-d)=0의 근을 한 번 추론해봅시다.

f라는 식은 (괄호)안에 α,β,γ가 들어가면

0이 나오는 식입니다.

 

그렇다면 (괄호)안에 들어있는

(cx-d)라는 식이 α,β,γ가 되면

참이 되겠죠?

이걸 그대로 정리만 해주면 됩니다.

방정식에서 '근'을 물어본다는 건,

결국 x가 뭐냐고 묻는 것이니까,

x라는 문자에 관해 정리해주면 되는 것이죠.

간단하죠?

 

사실 이 부분은 이차방정식을 배울 때도

나오는 내용이에요.

 

다만, 어떻게 풀건

쉽게 해가 나오는 이차방정식과 달리,

삼차방정식부터는 근을 구하기가

조금 더 힘든 편이므로,

이 관계식을 잘 이용하시면

문제가 쉽게 풀립니다.

 

그럼 아래 문제들을 한 번 풀어볼까요?

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문제1

 

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문제2

계수가 실수이므로 일단 두 근이

3+4i, 3-4i인 건 쉽게 알 수 있습니다.

이 때 바로 대입하기 보다는,

문자로 치환해서 보시면 좀 더 풀기 편해요.

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문제3

계수가 유리수이므로

P(x)의 세 근을 알 수 있습니다.

 

그리고 우리가 구해야 하는 식도

P(2x-1)=0임이 쉽게 보이죠.

 

해를 미지수로 설정해놓고,

관계식을 살펴보면 쉽게 풀립니다.

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해를 구하는 것이 익숙하지 않다면,

아래 예시들을 보고 연습해보세요.

이 관계는 나중에 부등식이나

더 높은 고차 방정식에서도

동일하게 사용이 가능하답니다. 

 

그럼 다음에도 유용한 포스팅 들고 올게요.