한량 지아이의 수학 LIFE

수학(하)에서 유리함수 배울 때, 유리식을 추가로 배우셨다면 그 때 나오는 내용이고 아니라면 수학1 수열의 합에서 정식으로 다루게 됩니다. 부분 분수란? 어떤 분수의 분모를 n이라 할 때, 분모가 n의 약수인 분수들의 합이나 차로 나타내는 것을 부분분수 분해 또는 부분분수 전개라고 합니다. 예컨대 분모가 큰 수를 좀 더 가볍게 만들기 위한 방법이랄까요? 고등학교에서는 부분 분수가 수1 수열의 합, 미적분 적분 단원에서 나온답니다. 우리는 간단한 부분분수 분해 정도만 해볼거에요. 식은 아래와 같습니다. 우변을 통분 해서 정리해보시면 두 식이 같다는 걸 쉽게 알 수 있습니다. 중요한 건 실제로 공식을 외워서 문제를 푸는 데 있죠. 간단한 연습 한 번 해볼까요? 분수 꼴로 나타낸 수열의 합 이제부터는 실제로 ..

수학1 수열의 합 기본 공식 (자연수의 거듭제곱의 합) 자연수의 거듭제곱의 합은 우리가 암기해서 쓰는 기본 공식이죠. 보통 아래 3개 정도는 다 외워서 씁니다. ①은 등차수열의 합으로 유도해서 풉니다. 나머지 둘은 어떻게 증명할까요? 보통 교과서에서는 아래와 같이 항등식을 이용하여 유도합니다. 납득은 가지만 별로 직관적으로 와닿지는 않죠. 그래서 다른 방법 두 가지 정도를 추가로 더 이용하여 공식이 성립함을 이해해볼까 합니다. 나무 블럭을 이용한 수열의 합 이해 나무 블럭 세 덩이를 쌓아 올려서 직육면체를 만들어 줍니다. 밑면은 n(n+1)이 되고 위로 튀어나온 나무 블럭은 반으로 갈라 반대쪽을 덮어주면 됩니다. 세 덩이 합쳐서 부피가 n(n+1)(n+1/2)이 되었으니 3으로 나누어서 정리해주면 되죠...

오늘 다뤄볼 내용은 수열에서 많이 나오는 Sn과 an 사이의 관계에 관한 내용입니다. Sn과 an 사이의 관계 (수열의 합과 일반항 사이의 관계) 우선은 간단하게 수열의 합 Sn과 일반항 an 사이의 관계를 살펴봅시다. Sn은 수열의 첫번째 항부터 n번째 항까지의 합입니다. 즉 누적해서 쭉 더하는 거죠. 1항부터 차례대로 더해주면 됩니다. 그렇다면 n항까지의 합이나 (n-1)항까지의 합도 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 우리가 수열에서 구하고 싶은 건 일반항이므로 둘을 빼서 정리해줍니다. 그럼 아래와 같은 관계식이 나오는 군요! 그런데 여기서 잠깐..! 수열은 첫번째 항부터 정의되기 때문에 실제 수열에서는 존재하지 않는 항입니다. 따라서 첫번째 항의 경우에는 차로 쓰지 않고 a1=S1으로 정의해서 새로 써..

시그마의 성질, 주의해야 할 점과 증명들. 보통 수학1에서 수열파트를 배울 때, 등차/등비까지는 무난하게 학습하다가 처음으로 어려움을 느끼는 단원이 시그마가 아닐까 싶습니다. 처음 등장하는 기호이기도 하고요-, 오늘은 시그마 기호의 성질을 증명해보도록 할게요. 1. 합 시그마 기호 안에 합으로 들어있는 수열들은 각각 따로 시그마 기호를 걸어줄 수 있습니다. 마치 시그마 기호를 분배법칙으로 쓴 것 같은 모양새네요! 2. 차 차도 합과 마찬가지입니다. 3. 상수배 상수가 수열에 곱해져있는 경우에는 시그마 기호 밖으로 빼셔도 됩니다. 4. 상수 상수의 경우에는 n만큼 상수를 더한 것이므로 둘을 곱해서 적어주시면 됩니다. 이제부터 시그마 기호 쓸 때의 주의사항을 알아볼게요. 1. 합과 곱은 마치 분배법칙처럼 썼..

오늘은 등차수열의 합의 형태를 관찰함으로써 등차수열의 일반항을 빨리 구해보도록 하겠습니다. 우선 등차수열의 합 공식을 살펴볼까요? 식에서 a와 d는 첫째항과 공차로 상수입니다. 문자중 n만 변수죠. 그래서 준 식을 n에 대한 식으로 정리해보면, 상수항이 없는 이차식의 형태가 나옵니다. 반대로 상수항이 없는 이차식도 살펴봅시다. 이것도 일반항을 구해보니 첫번째 항부터 등차수열의 합이 되네요. 즉, 등차수열의 합 = 상수항이 없는 이차식이 되는군요. 그렇다면 지금부터는 둘의 관계를 살펴봅시다. 이차항 계수만 비교해보면 이 식의 의미를 살펴봅시다. 그러니까 상수항이 없는 이차식은 등차수열의 합 공식인데, 이차항의 계수 x 2 = 공차가 나온다는 사실! 게다가 S1 = a1이므로 일반항을 바로 구할 수 있죠. ..