오늘은 직선에 대한 선대칭 중 기울기가 +-1일 때 빨리하는 방법에 대해 알아보겠습니다.
선대칭은 기본적으로 2가지를 사용해서 풉니다. 직선과 수직인 기울기, 그리고 중점을 지난다는 점을 이용하죠. 그런데 기울기가 +1이거나 -1인 경우에는 그냥 점을 대입하는 것만으로 금방 풀 수 있답니다 :-)
우선 이 두 가지를 이용하여 증명을 해보도록 할게요.!
기울기가 1인 직선에 대하여 대칭인 도형의 좌표를 구해보겠습니다. 원래의 도형에 있는 점을 (x, y)라 하고, 대칭이동한 도형 위에 있는 점을 (X', Y')이라고 둡시다.
f(x, y)=0이라는 식에
x 대신 Y'-p,
y 대신 X'+p를 넣고 정리하여
f(Y'-p, X'+p)=0라고 쓰면 된다.!
근데 이 결론 자체가 별로 와닿지 않죠?
이럴 땐 그냥, 옮기려는 점의 x좌표와 y좌표를 각각 넣어서 나온 값을 그대로 적어주시면 됩니다.
기울기가 -1일 때도 동일합니다. 증명은 똑같은 방법으로 여러분들이 한 번 해보세요.!
+ 포스팅 내용 추가합니다.
위의 방법은 자취의 방정식을 활용하는 것이라, 대부분의 학생들이 어렵게 느끼는 것 같아 훨씬 직관적인 증명을 하나 더 준비해봤습니다.
점과 직선을 같이 평행이동시켜서 대칭한 다음 다시 원래대로 돌려주는 방법이에요. y=x일 때와 y=-x일 때는 선대칭을 바로 할 수 있기 때문에 이렇게 증명해도 됩니다.
기울기가 1인 직선과 한 점이 있습니다.
둘을 모두 다 y축으로 -a만큼 평행 이동하면,
y=x+a가, y=x로 옮겨집니다.
이동한 점을 y=x에 대하여 대칭시킵니다.
다시 y축 방향으로 a만큼 평행이동시켜줍니다.
이렇게 해서 이동시킨 A4라는 점은
A1을 y=x+a에 대하여
대칭 이동시킨 점이 됩니다.
도형이나 기울기가 -1인 경우도 동일하게 증명이 가능합니다.
그럼 실제로 활용하는 것이 중요하니 문제를 같이 풀어보도록 하죠!
문제 1
점 P(0,7)을 y=x+2에 대하여
대칭한 점의 좌표를 구하여라.
따라서 대칭점의 좌표는 (5,2)
문제 2.
점 (-3,2)를 y=-x+7에 대하여
대칭한 점의 좌표를 구하여라.
따라서 대칭점의 좌표는 (5,10)
도형의 경우에도 마찬가지입니다.
문제 3.
직선 x-y-2=0에 대하여
직선 x+2y-4=0과
대칭이동한 직선의 방정식을 구하여라.
따라서 대칭이동한 직선의 방정식은
2x+y-6=0이다.
만약 대칭시켜야 하는 직선의 기울기가 +1,-1이 아니라면 이 때는 그냥 정석대로 푸셔야 합니다.
그럼 다음에도 좋은 팁 들고 올게요!
혹시 풀이나 증명 부분이 잘 이해가 안 된다면 댓글 달아주세요^^
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