x축과 y축에 동시에 접하는 원 쉽게 푸는 법

축에 접하는 원의 방정식

오늘은 축에 동시에 접하는 원의 방정식 중 두 축에 동시에 접하는 원을 다뤄볼까 합니다.

 

x축에만 접하거나 y축에만 접하는 건 굳이 좌표의 절댓값과 반지름이 같다.. 고 외우기보단 전 항상 그래프를 그리는 게 습관이 되다 보니 절댓값을 쓰기보단 그냥 그림을 그려서 보게 되더라고요. 

 

그렇지만 축에 동시에 접하는 원의 경우에는 중심도 y=x or y=-x위에 있기 때문에 훨씬 간단하게 풀 수 있습니다.

쉬운 문제들 보단 조금 난도가 있는 문제 몇 개만 같이 풀어보도록 할게요.

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문제 1 

중심이 곡선 y=x²-3x-3위에 있고, x축과 y축에 동시에 접하는 원은 4개 있다. 이 네 원의 중심을 각각 ABCD라 할 때, 사각형 ABCD의 넓이는 k이다. k²의 값은?

 

x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 y=x, y=-x위에 있죠. 동시에 중심이 곡선 위에 있기에 둘을 그래프로 그려보면 아래와 같습니다.

그래프 상으로 교점이 총 4개 나오네요. 연립해서 실제로 좌표도 한 번 구해보도록 할게요.

해가 모두 실근으로 다 나오네요. 축에 동시에 접하는 원을 개형으로 그려보면 아래와 같습니다.

우리가 구하는 건 이 네 점으로 둘러싸인 사각형의 넓이니까 끝까지 구해보도록 해요. 다행히 이 사각형은 대각선의 교점이 수직이기 때문에, 두 대각선의 길이를 곱한 다음 2로 나누어주면 됩니다.

길이를 구하실 땐, 어차피 기울기가 +1, -1이므로 삼각형 특수각 길이 비를 이용하시면(1:1:√2) 훨씬 쉽게 구할 수 있답니다. 

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문제 2

1 사분면 위에서 x축과 y축에 동시에 접하는 원 C1과, 원 C1에 외접하고 x축에 접하는 원 C2가 있다. 두 원 C1, C2의 중심이 모두 직선 3x-4y+1=0 위에 있을 때, 원 C2의 방정식을 구하여라.

 

C1은 x축, y축에 동시에 접하면서 중심이 3x-4y+1=0위에 있고, 1사분면 위에 있다고 하니 y=x와 연립해서 금방 찾을 수 있습니다.

이제 C2를 찾아봅시다. 1 사분면에서 C1과 외접하면서 중심은 3x-4y+1=0위에 있으며, x축과 접하는 원이죠. 개형을 먼저 그려봅시다. 

x축과 접하므로 중심의 y좌표는 r이고, 3x-4y+1=0위에 있으므로 x좌표도 구할 수 있습니다.

두 원이 외접하므로, 위와 같은 직각 삼각형이 만들어지네요. 이제 피타고라스의 정리를 사용하여 r을 직접 구해봅시다.

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원의 경우에는 접선이 어려운 경우가 많으므로, 공부할 때 아래 내용도 같이 학습하도록 해요!

원 위의 점에서의 접선 빨리 구하는 팁!

 

[원 접선의 방정식] 극선의 방정식

그럼 다음에도 유용한 포스팅 들고 올게요!