[사차방정식 근의 성질] 복이차식 치환해서 근의 부호로 풀기

사차방정식 중 복이차식 형태의 근을 구해봅시다.

인수분해가 되는 경우에는 그렇게 풀면 됩니다.

그런데 미지수가 섞여 있어서 근의 부호나 실근/허근을 판별해야 하는 경우에는 어떻게 해야 할까요?

 

복이차식의 경우에는

아래 문제를 하나씩 풀면서 살펴보죠.

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대표예제

일차항과 삼차항이 없으니, 치환해서 풀어봅시다.

 

여기서 조건 3개는 모두 사용해야 합니다. 

합과 곱이 양수여도 실수가 아닐 수 있기 때문이죠.

이 참에 이차방정식 근의 분리를 다시 복습하시면 좋습니다.

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아래는 연습용으로 실어둔 복이차 다항식 문제입니다.

어떤 조건이 필요한지 써보고 풀어봅시다!

 

예제1

모든 근이 실수가 되려면, 치환했을 때 두 근이 0보다 크거나 같으면 됩니다.

즉, D>=0, 합>0 곱>=0 세 조건을 쓰면 되죠.

 

예제2

서로 다른 네 실근에 주목합시다. 치환했을 때 두 근이 서로 다른 양수여야 합니다.

즉, D>0, 합>0, 곱>0 세 조건을 쓰면 됩니다.

 

예제3

서로 다른 두 실근을 가지려면 치환한 근이 양수,

서로 다른 두 허근을 가지려면 치환한 근이 음수여야죠.

즉, 한 근은 양수, 한 근은 음수를 가지면 됩니다.

곱<0 이 조건 하나만 쓰면 되죠.!