[절대부등식] 산술기하보다 쉬운 코시-슈바르츠 부등식

오늘은 코시 슈바르츠 부등식을 이용해서, 산술/기하보다 더 편하게 문제를 풀어볼게요!

저번에 했던 포스팅 내용 중, 분자와 분모에 같은 문자가 있는 경우를 다룰 때 입니다.

 

만약 코시/슈바르츠 부등식이 무엇인지 기억나지 않다면 아래 이전 포스팅을 참고해주세요. ^^

 

https://ladyang86.tistory.com/50

[절대부등식] 코시 슈바르츠 부등식 증명 및 사용법

 

산술/기하 부등식을 사용할 때는, 조건이 붙죠?

a>0, b>0 일 때만 사용할 수 있습니다. 

a>0일 때는, 아래와 같이 나타낼 수 있죠.

그렇다면, 원래 제곱식으로 되어있는 코시/슈바르츠 부등식을 이렇게 나타내어 줍시다.

이 식에서 a,b,x,y>0이므로 식을 좀 더 간단하게 써보면, 

자 이제 이 형태를 통째로 외우고, 문제에 적용해봅시다.

 

분모/분자에 같은 문자가 있는 경우,

곱하면 상수가 되므로 간단하게 정리됩니다.

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문제1

주어진 식과 구해야 하는 식의 분모/분자에 각각 a,b 라는 문자가 있네요. 

그렇다면 같은 문자끼리 곱해질 수 있도록 위치를 바꿔서 코시 슈바르츠 부등식에 대입해주면 됩니다.

6a+5b=1이라고 이미 문제에서 줬으니, 우리는 우변의 값만 계산하면 되겠네요.

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문제2

이것도 분모/분자에 같은 문자가 오는군요..!

앞/뒤에 같은 문자끼리 배치하여, 계산합시다.

참, 쉽죠잉?

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이건 문제지에서 꽤나 어려운 문제에 속하는 데, 코시를 이용하여 풀면 아주 간단하게 풀 수 있습니다.

 

문제3

+2를 +1+1로 쪼개어서 각각 위치시켜줍니다.

최솟값은 4로 바로 나오는군요.! 

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문제4

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문제5

정답 : 최댓값 2√6, a=3/2, b=9/2

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문제6

정답 : m=5, a=1/3, b=1이므로 구하는 값은 15

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문제7

그림과 같이 ∠ABC= ∠BCD=90º이고,

AB+BC+CD=28일 때, 

AD의 거리의 최솟값을 구하시오.

 

등호는 x+z=y일 때, AB+CD=BC일때 성립합니다. 

 

정답 : 14√2

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#1,2,3,5은 산술/기하 부등식으로도 모두 풀 수 있습니다. 다만 코시보다 조금 더 식이 길어지죠. 

a>0, b>0이라는 조건은 산술기하 말고도 코시 슈바르츠 부등식에서 일반적인 숫자에도 적용할 수 있다는 것과,

코시 슈바르츠 부등식의 등호 조건을 같이 복습하는 것도 잊지 마시구요.!

 

그럼 다음에도 유용한 포스팅으로 돌아올게요.^^