산술기하 평균(부등식) - 기하적인 방법으로 증명하기

절대부등식의 대표적인 예로

산술기하평균을 이용한 부등식을 배웁니다.

 

이때, 두 식의 차를 이용하여 

증명하는 것이 가장 일반적이지만,

기하적인 방법으로도 증명할 수 있습니다.

 

산술기하 부등식 기하적 증명

산술기하 부등식의 조건이

변수가 모두 양수일 때이므로, 

도형에서 변의 길이로 생각하면,

직관적으로 이해가 됩니다.

 

산술기하 부등식 증명 첫번째

위 그림과 같이 중심이 O이고,

AB를 지름으로 하는 반원을 봅시다.

 

호 위의 한 점 C를 잡아

수선의 발을 내려줍니다.

양끝으로부터의 길이 중 짧은 것을 a

긴 부분을 b라고 두겠습니다.

그림에서 보면 아시겠지만,

당연히 DO가 CM보다 깁니다.

언제 같을까요?

a=b일때 성립하겠죠.

 

DO는 원의 반지름이므로 산술평균이고,

CM은 직각삼각형의 높이이므로

기하평균이 나옵니다.

 

(혹시 이 부분이 바로 나오지 않는다면,

아래 직각삼각형 포스팅을 참고해주세요.

3번째 닮음을 사용하는 부분입니다.)

https://ladyang86.tistory.com/64

직각삼각형 공식 총정리 (소공식, 피타, 닮음)

---

아래는 위의 기하적인 증명을 이용한,

교육청 기출문제입니다.

한 번 가볍게 풀어보세요 :-)

 

정답은 (가) DC (나)EO입니다.

---

 

산술기하 부등식 증명 두번째

이번엔 사각형의 넓이를 이용한

보다 직관적인 방법입니다.

도형의 기하적 성질을 이용하면

절대부등식의 증명을 쉽게 할 수 있습니다.

 

a,b는 둘 다 직사각형의 변의 길이이므로,

자연스럽게 a>0, b>0인 조건이 설정됩니다.

 

ⓐ 전체 큰 정사각형의 넓이는 

ⓑ 안쪽의 붉은색 작은 정사각형의 넓이는

ⓒ 바깥쪽 파란 직사각형 4개의 넓이는

ⓐ=ⓑ+ⓒ입니다.

이 때, 

가 성립하므로

임을 알 수 있습니다.

 

그리고 a>0, b>0이므로 양변에 루트를 씌워도 부등식은 성립합니다.

즉 이런 형태가 되죠. 양변을 2로 나눠서 정리하면 됩니다.

---

산술평균, 기하평균 외에도

조화평균이 있습니다.

 

학습량 경감을 이유로

교육과정에서 빠졌죠.

(더불어서 수1의 조화수열도 같이 빠집니다.)

 

하늘색 부분이 조화평균입니다.

역수가 산술평균을 이루는 수..인데,

교육과정에서 빠졌으니 그냥

저런게 있구나-정도로만 알아도 됩니다.

 

아니면, 산술평균 부등식을 배운 다음

이걸 위와 같이 기하적으로 증명하고,

심화주제로 조화평균을 같이 다루면

보고서 쓰기에 매우 좋을 거 같긴 하네요.

 

수학 보고서 주제,

혹은 수학 발표 주제로 추천합니다.

ㅎㅎ

 

그럼 저는 오늘도 여러분을 응원하며

이만 포스팅을 마치겠습니다.