합성함수의 미분법 (다항함수의 거듭제곱)

수학2에서의 합성함수의 미분법

오늘은 미적분에 나오는 미분법 말고,

수학2에서 써먹을 수 있는

다항함수 위주로 다룰 거에요.

 

보통 수학2에서는 합성함수의 미분법을

따로 다루지 않기 때문에,

곱의 미분법을 다 풀어서 쓰던가,

아래와 같이 수학적 귀납법을 이용해서

증명 후, 사용합니다.

 

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수학적 귀납법을 이용한 다항함수의 거듭제곱 형태 미분 증명

보통은 수학1을 먼저 배우므로

수학적 귀납법을 사용해서 증명하는 것 같아요.

 

우선은 가장 작은 자연수일 때

성립하는 걸 먼저 보여줍니다.

곱의 미분법을 사용하면 깔끔하게 나오므로

n=2일때가 쉽게 증명됩니다.

 

물론 아래와 같이 n=1일 때도 성립합니다만,

f(x)의 0제곱이 들어 있어서

전 n=2일 때를 사용했어요.

어차피 이 공식을 사용하는 상황은

n≥2일 때니까요.ㅎㅎ

귀납법에 의하여 된다는 걸 증명했으니,

공식을 똑바로 외워서 사용하시면 됩니다.

 

도함수의 정의를 이용한 합성함수의 미분법 증명

이번에는 p(x)=f º g(x) = f(g(x))로 두고

p'(x)를 도함수의 정의로 유도해보겠습니다.

도함수의 정의 요거죠..!

분모/분자에 g(x+h)-g(x)를 곱해서

식을 분리하여 정리해주는 것이 핵심입니다.

합성함수의 미분법 증명

이과생들은 보통 겉미분x속미분 이런식으로

외울텐데, 아직 바로 하는 게 익숙치 않다면

치환을 해서 대입하면서

초반에 익히도록 합시다.

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합성함수의 미분법 예시

 

문제1

속에 들어있는 식이 복잡해 보인다면,

처음엔 그냥 치환해서 겉미분/속미분을 쓰고

대입하여 정리하셔도 됩니다.

 

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문제2

특히나 거듭제곱하는 식이 일차식인 경우

속미분했을 때 숫자가 나옵니다.

빼먹지 말고 치환해서 쓰세요.

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곱의 미분법으로 나올 때도

동일하게 해주시면 됩니다.

 

좀 더 익숙해지면 나중에는

치환하지 않더라도 한 번에 될 거에요.

그 때까지 화이팅입니다!