[경우의 수, 확률] 3의 배수 만들기 (3으로 나눈 나머지 이용)

경우의 수 또는 확률에서는 배수 만들기 문제가 종종 나옵니다. 만약 배수의 특징을 모른다면 아래 포스팅 먼저 정독하고 오세요.

 

https://ladyang86.tistory.com/57

배수 판정법 (초중고딩 모두 이해할 수 있음)

 

일반적으로 숫자를 만들 때, 2의 배수나 5의 배수처럼 끝자리만 맞춘다고 되는 게 아닌 유형이 바로 3의 배수 만들기입니다.

 

3의 배수의 경우에는 각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면 됩니다.

 

주어진 숫자가 적은 경우에는 숫자를 직접 만들어서 세도 됩니다.

 

그렇지만 일반적으로 나머지로 분류해서 푸시는 걸 추천 드립니다. 그래야 숫자가 커져도 별 무리없이 풀 수 있어요. 아래 문제를 풀면서 나머지로 분류해서 푸는 걸 익혀보도록 해요!

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예제

1,2,3, ..., 12의 숫자가 하나씩 적힌 12개의 공이 들어있는 상자에서 공을 하나 꺼내고 꺼낸 공을 다시 넣는 시행을 세 번 반복하여 나온 숫자를 각각 a1, a2, a3라고 하자. 방정식 x³=1의 한 허근 w에 대하여 아래를 만족하는 경우의 수를 구하시오.

나머지로 분류해서 풀면 3의 배수를 모두 계산하지 않아도 되기에 매우 편리합니다!

 

sol2) 앞의 a1, a2는 모든 숫자가 올 수 있고, 마지막 a3는 나머지가 3의 배수가 되게 만드는 그룹에서 선택하면 되므로 4가지 경우가 존재한다. 즉 12x12x4개 = 576개 

 

아래는 수능 예시문항인데, 큰 틀은 잡아 드릴테니 한 번 풀어보세요 :-)

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예제 

2022학년도 수능예시문항 확통 28번

1부터 10까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 3개의 수를 선택한다. 선택한 세 개의 수의 곱이 짝수일 때, 그 세 개의 수의 합이 3의 배수일 확률은? 

 

전체 : 10C3-5C3

1~10까지 중 3개의 수를 선택하는 경우의 수 - 선택한 세 개의 수의 곱이 홀수일 때

 

분자 : 세 수의 합이 3의 배수 - (세 수의 합이 3의 배수지만 곱은 홀수인 것)

 

R1 = {1,4,7,10}

R2 = {2,5,8}

R0 = {3,6,9}

 

세 수의 합이 3의 배수가 되려면

(R1+R2+R3) or (R1,R1,R1) or (R2,R2,R2) or (R3,R3,R3)

이 네 그룹 중에서 숫자를 골라야 하겠죠?

 

그리고 이 그룹에 속하지만 곱은 홀수인 순서쌍은 제외해주시면 됩니다.

 

정답 : 19/55

 

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예제 2

1부터 6까지의 수를 중복사용하여 만든 네 자리 자연수가 3의 배수가 되는 경우의 수는?

 

앞의 3자리는 1~6까지의 숫자가 모두 올 수 있다고 하면 6x6x6가지 있고, 마지막 일의 자리수는 합이 3의 배수가 되게 만드는 숫자가 2개 있으므로 전체 경우의 수는 6x6x6x2가지 있다.

 

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예제3

다음 조건을 모두 만족시키는 모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수를 구하시오. (단, x, y, z, w는 모두 자연수)

(가) x+y+z+w=15

(나) x, y, z, w중 3의 배수는 하나 뿐이다.

정답 : 120

 

3의 배수 하나 결정 4개

나머지 세 수를 더해서 역시나 3의 배수가 되어야 하므로,

R1,R1,R1 혹은 R2,R2,R2

이후 중복조합 변수 치환 방법으로 동일하게 푸시면 됩니다. :-)