대칭차집합 총정리 - 정의, 성질, 문제풀이

대칭차집합은 학교 시험에 굉장히 자주 등장하므로 한 번은 다루고 넘어가는 편이 좋습니다. 아무래도 테마로 익히고 나면, 문제 푸는 시간이 단축이 되니까요.

 

사실 용어 자체를 모른다고 하더라도 정의 혹은 벤 다이어그램을 이용하여 풀 수 있습니다.

 

대칭차집합 정의

두 집합 A,B에 대하여 차집합 A-B와 B-A의 합집합을 대칭차집합이라 하고,
일반적으로 연산 기호 △를 써서 다음과 같이 나타냅니다.

 

A△B

= (A - B) ∪ (B - A)

= (A∪B) - (A∩B)

일반적으로..라는 말을 쓴 건 다른 기호로도 얼마든지 정의해서 나올 수 있기 때문이에요. △라는 기호를 대칭차집합에 쓴다고 정해둔 건 아니랍니다.

 

대칭차집합은 수식으로 쓰면 여러가지 방법으로 표현할 수 있기 때문에, 이것이 대칭차집합이다-라고 알아볼 수 있으면 됩니다.

여러가지 방법으로 표현가능

물론 그게 힘들다면 벤 다이어그램으로 그려보셔도 됩니다.

 

대칭차집합 성질

1. 교환법칙 성립

합집합에 대하여 교환법칙이 성립하므로 성립

A△B

= (A - B) ∪ (B - A) (합집합은 교환법칙이 성립함)

= (B - A) ∪ (A - B) 

= B△A

 

2. 결합법칙 성립

결합법칙은 집합이 3개나 나오기 때문에, 벤 다이어그램을 이용하여 성립함을 확인해볼게요.

3. 여러번 연산을 반복할 때-

문제를 풀어보면서,

감을 좀 더 익혀봅시다.

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문제1

U = { x | x는 10 이하의 자연수}의

두 부분집합 A, B에 대하여

A = { x | x는 6의 약수}일 때,

(A - B) ∪ (B - A) = { 2, 5, 8, 10 }을

만족시키는

집합 B의 부분집합의 개수는?

 

정답 : 64개

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문제2

전체집합 U의 두 부분집합 A,B에 대하여

연산 ㆍ를

AㆍB = ( A - B ) ∪ (B - A)로 정의할 때,

보기에서 항상 옳은 것만을 

있는 대로 고른 것은?

 

<보기>

정답 : ㄴ, ㄷ

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문제3

전체집합 U의 두 부분집합 A,B에 대하여

( A ∪ B) - (A ∩ B) = A - B 가 성립할 때,

<보기>에서 항상 옳은 것만을

있는 대로 고른 것은?

정답 : ㄱ, ㄷ

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문제4

전체집합 U의 세 부분집합 A,B,C가 있다.

연산 ★를 A ★B = ( A ∪ B) - (A ∩ B)로

정의할 때, 세 집합 A, B, C를 다음과 같이

한 집합씩 순서대로 연산을 30회 시행한다.

이때, Xn=A를 만족시키는

모든 자연수 n의 값의 합울 구하시오.

(단, n은 2이상이다.)

 

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문제5

두 집합 X, Y에 대하여 라고 할 때,

다음 중 아래 벤 다이어그램의 

색칠한 부분을 나타내는 것은?

 

①  A △ (B △ C)

② A △ (B ∩ C)

③ (A △ B) ∩ (A △ C)

④ A ∩ (B △ C)

⑤ A △ (B ∪ C)

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다음에 문제풀이도 이어서 같이 올리겠습니다!