[조건부 확률] 독립이 되는 사건 쉽게 찾기

조건부 확률에서 사건의 독립과 종속을 체크할 때, 일반적으로 P(A)P(B)=P(A∩B)를 이용해서 풉니다.

 

그런데, 독립의 정의를 이용하면, 훨씬 더 쉽게 풀 수 있습니다.

두 사건 A,B가 독립이다 <=> P(A)=P(A|B)이죠.

확실하게 확률을 구할 수 있는 사건을 구해두고, 나머지를 조건부 확률을 이용해서 풀면 됩니다.

 

만약 사건의 독립과 종속에 관한 부분을 잘 모르겠다...하면 아래 내용을 복습하고 오시면 됩니다.

 

https://ladyang86.tistory.com/8?category=791745

[조건부 확률] 사건의 독립과 종속 (필수 암기 알고리즘)

 

그럼 실제로 문제를 한 번 풀어볼까요?

 

문제1. 1부터 20까지의 자연수가 하나씩 적힌 20장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 뽑은 카드에 적힌 수가 k의 배수인 사건을 Ak라 하자. 두 사건 A2, Ak가 서로 독립이 되도록 하는 모든 k의 값의 합은?

(단, k=1,2,3,...,20)

 

풀이)

A2={2,4,6,8,...,20}이므로 P(A2)=1/2입니다.

A2와 Ak가 독립이라면, 우리가 찾는 Ak는 P(A2|Ak)=1/2이 되면 됩니다.

 

즉, k의 배수 중 2의 배수가 반이면 되는 것이죠.

 

만약 k가 짝수면 확률이 1이 되므로, k는 홀수가 됩니다.

P(A2|A1)=1/2 

P(A2|A3)=1/2

P(A2|A5)=1/2

P(A2|A7)=1/2

P(A2|A9)=1/2

 

그런데 11을 넘어가면 확률이 0이 되죠. (전체집합이 20까지이므로)

따라서 가능한 k의 값의 합은 1+3+5+7+9=25가 됩니다.

---

문제2. 1부터 9까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 9장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 뽑는 시행을 한다. 이 시행에서 3의 배수가 적혀 있는 카드를 뽑는 사건을 A라 하고, 5 이하의 자연수 n에 대하여 n, n+3, n+4가 적혀 있는 카드를 뽑는 사건을 Bn이라 하자. A의 여사건과 Bn이 서로 독립이 되도록 하는 모든 n의 값의 합은?

 

풀이)

A={3,6,9}이므로, P(A)=1/3입니다.

우리가 찾는 Bn은 P(A|Bn)=1/3인 Bn이죠.

 

일단 Bn을 다 적어보면,

B1={1,4,5}

B2={2,5,6}

B3={3,6,7}

B4={4,7,8}

B5={5,8,9}입니다. 

 

P(A|Bn)=1/3은 Bn의 원소 중 3,6,9가 나올 확률이 1/3이라는 뜻이므로, 

B2와 B5가 해당되겠군요. 따라서 가능한 n의 합은 2+5=7입니다.

---

문제3. 20개의 자연수 1,2,3, ..., 20 중에서 임의로 1개를 택하는 시행에서 소수가 나오는 사건을 A라 하고, 20보다 작은 자연수 n에 대하여 n 이하의 수가 나오는 사건을 Bn이라 하자. 두 사건 A와 Bn이 서로 독립이 되도록 하는 모든 n의 값의 합은?

 

풀이)

 

A: 소수가 나오는 사건 ={2,3,5,7,11,13,17,19} 

P(A)=8/20=2/5

P(A|Bn)=2/5인 사건 Bn를 찾으면 됨.

여기서 n(Bn)가 5의 배수여야, 약분해서 5가 나올수 있음.

따라서 우리는 n(Bn)가 5의 배수인 5, 10, 15 세가지 경우만 살펴보면 됨.

 

1) n=5일 때, P(A|B5)=3/5이므로 안됨.

2) n=10일 때, P(A|B10)=4/10=2/5 (o)

3) n=15일 때, P(A|B15)=6/15=2/5 (o)

 

따라서 A와 독립인 Bn은 B10, B15뿐이므로 가능한 n의 합은 10+15=25

---

문제4. 10 이하의 자연수 n에 대하여 주머니에 1부터 3n까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 3n개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼냈을 때, 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수인 사건을 A, 3의 배수인 사건을 B라 하자. 두 사건 A와 B가 서로 독립이 되도록 하는 모든 n의 값의 합을 구하시오.

 

풀이)

B={3,6,9,...,3n}이므로 P(B)=1/3이므로, P(B)=P(B|A)=1/3이 되는 A를 찾으면 됨.

 

P(B|A)=짝수 중 3의 배수가 1/3의 비율로 있으면 됨.

 

조건부 확률이므로 우리는 짝수만 보자. 숫자를 3의 배수를 보기 쉽게 다 적어보면,

 

2,4,6

8,10,12

14,16,18

20,22,24

26,28,30

 

숫자가 적어서 일부로 다 적긴 함.

 

즉 3n=6,12,18,24,30인 경우 P(B|A)=1/3이 된다.

 

따라서 b=2,4,6,8,10이므로 구하는 값은 2+4+6+8+10 = 30

 

 

---

문제5. 어느 대학교 수시 면접장에 모인 n명의 학생들의 수험 번호를 확인해보니 수험번호가 20 이하인 학생이 15명이고, 홀수인 학생이 12명이었다. 이 n명의 학생들 중 임의로 한 명의 학생을 택할 때, 이 학생의 수험번호가 20 이하인 사건과 홀수인 사건이 서로 독립이 되도록 하는 모든 자연수 n의 값의 합을 구하시오. (단, 수험번호는 자연수이다.)

 

풀이)

20 이하인 학생이 15명이므로, 20 이하의 짝수의 개수는 최소 5개, 최대 10개이다.

20 이하의 짝수의 개수 = k개라고 두면,

P(20 이하일 확률) =15/n=P(20 이하일 확률 | 홀수)=k/12

이므로 nk=12x15=180

즉, k는 180의 약수 중 5와 10사이에 있는 수이므로 n은 36, 30, 20, 18이 가능하다.

따라서 모든 자연수 n의 값의 합은 104