한량 지아이의 수학 LIFE

내신 대비하면서 학생들이 어려워했던 문제를 모아 보았습니다. '처음으로' 어떤 조건을 수행 해야 하는 문제랍니다.풀이는 손목이 회복되면 차차 올리고, 우선 문제와 정답, 간단한 힌트 정도를 같이 업로드합니다.문제12020-3-1-M 쌘뽈여고 #3좌표평면 위의 점 P는 한 번 이동할 때마다 다음 네 가지 중 한 가지 방법으로 이동한다. (가)  점 P는 (x, y)에서 (x+1, y)로 이동한다.(나)  점 P는 (x, y)에서 (x-1, y)로 이동한다.(다)  점 P는 (x, y)에서 (x, y+1)로 이동한다.(라)  점 P는 (x, y)에서 (x, y-1)로 이동한다. 원점 O에서 출발한 점 P가 5번 이동한 후에 처음으로 점 (2,1)에 도착하는 경우의 수는? 정답 : 38개  문제22022년도 ..

오늘은 가장 기초적인 길 찾기 경우의 수를 다뤄볼거에요. 중2를 대상으로 작성한 포스팅이지만, 만약 고1 수학(하) 길 찾기가 어렵다면 많은 도움이 될 겁니다. 최단거리 길 세는 방법은 아래와 같습니다. 1. 최단 방향을 찾는다. 2. 교점마다 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 센다. 3. 여러 지점을 가야하는 경우에는 곱의 법칙을 이용한다. 알고리즘을 이용하여 문제푸는 방법은 아래와 같습니다. https://youtu.be/ZGrAQmIRKfY?si=wadL0ybZzpVJZ5hw 아래 문제를 하나씩 풀어가면서 익혀보도록 해요. 문제 1 정답 : 6개 문제2 정답 : 10개 문제3 정답 : 8개 문제4 정답 : 7개 문제5 그림과 같은 정사각형 모양의 길이 있다. A 지점에서 출발하여 B 지점을 거쳐 C..

서술형, 빈칸형으로 자주 출제되는 순열과 조합의 성질 한 번 정리해보고 가겠습니다. 아래 여섯 가지를 증명하실 수 있으면 오늘 포스팅은 그냥 넘어가셔도 됩니다. 아니라면 같이 연습해보시는 게 좋겠죠? ㅎㅎ 증명에서는 P, C둘 다 팩토리얼로 나타낸 식을 사용하면 됩니다. 순열의 성질, 공식 증명 써야 할 식의 변형이 잘 이해가 안된다면 옆에 숫자를 한 번 대입해서 적어보시면 이해가 쉬운 편이랍니다. 조합의 성질, 공식 증명 조합의 경우도 순열과 마찬가지로 팩토리얼 형태로 다 바꾸어 준 다음 통분해서 식을 증명하시면 됩니다. 통분할 때 양쪽에 모두 다 곱해줘야 하는 경우도 있으니 주의하시고요.! 위의 성질들은 조합에서 맨 위의 두 개 식을 제외하면 굳이 외워서 써야 하는 식은 아닙니다. 그래서 증명 정도만..

경우의 수와 확률을 가리지않고 이웃하지 않게 나열하는 방법을 탐구해볼까 합니다! 이건 사실 수학(하) 순열과 조합부터 확률과 통계까지 다 나오기 때문에 꼭 알고 있어야 하는 내용이에요. 우선, 이웃하게 나열하는 건, ① 이웃해야 하는 걸 한 그룹으로 묶고, ② 전체 나열 & 이웃 내부 그룹 나열 이렇게 하는 거 아시죠?ㅎㅎ 이웃하지 않는건 이것과 조금 다릅니다. ① 이웃해도 상관없는 걸 먼저 나열하고, ② 방금 나열한 것 사이사이에 이웃하지 않아야 하는 걸 배열하면 됩니다. 아래에 다양한 예제와 함께 문제를 풀어가면서 감을 익히도록 해보죠! 예제1. 남자 5명, 여자3명을 일렬로 나열할 때, 여자 3명이 누구도 이웃하지 않는 경우의 수를 구하여라. ① 우선 이웃해도 상관없는 남자 5명을 먼저 나열합니다...

오늘은 원순열에서 많이들 헷갈리는 정다면체 색칠하는 방법의 수에 대한 포스팅입니다. 정다면체가 다섯 종류만 있는 이유 우선 정다면체는 다섯 종류만 존재합니다. 왜 그런지는 사실은 중학교 1학년 때 배웁니다. 가볍게 설명해볼게요. 평면도형을 합쳐서 입체를 만드는 것인데 입체를 만들려면 한 꼭짓점에 평면도형을 세 개 이상 모아야합니다. 정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체를 생각해보면, ① 정삼각형 세 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정사면체 ② 정삼각형 네 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정팔면체 ③ 정삼각형 다섯 개를 한 꼭짓점에 모아서 만드는 정이십면체 요 세가지가 가능합니다. 정삼각형을 한 꼭짓점에 여섯 개 모으면 평면이 되므로 입체도형 만드는 것이 불가능하죠. 다른 정다각형도 살펴본다면, 정사각형으로..

서로 다른 주사위 두 개를 던지는 문제는 순서쌍을 세는 것보다, 표로 그려서 풉시다. 주사위 문제는 고3때까지 꾸준히 나옵니다. 그리고 위의 표를 이용해서 푸는 방법은 한결 같이 사용할 수 있죠 :-) 다년간 지도를 해보면, 표를 그리는 게 귀찮기 때문에(?) 많은 학생들이 그냥 순서쌍을 찾으려고 합니다. 그렇지만 순서쌍은 바뀌는 경우를 고려하지 못하거나 중간에 숫자를 빼먹는 경우가 많죠. (사실 숫자 쓰는 게 더 귀찮아요.) 주사위 문제를 단 한 번이라도 틀린 적이 있다면, 오늘 포스팅 주목!! 앞으로 주사위는 표 그려서 풉시다! 아래는 주사위 문제를 표로 풀면 좋은 이유입니다. 1. 합이 일정함. 합이 일정하므로 찾기 쉽습니다. 같은 색깔은 합이 같은 수들입니다. 표기하다보면 누락하는 걸 방지할 수 ..

오늘은 시험 때 시간을 매우 단축시켜주는 꿀팁을 배워 볼 예정입니다. 교란순열(완전순열)이란? 교란순열 : Derangement 완전순열 : Complete permutation 혹은 서브 팩토리얼로 불립니다. Derangement 에서 D를 따와서, n개짜리 교란순열을 Dn이라고 씁니다. 정의 n개의 원소가 모두 자기 자신이 아닌 값으로 배정되는 순열 (모든 원소의 위치를 바꾸는 순열) 말이 좀 어렵죠? 아래 예제를 통해서 이해해봅시다. 아마 꼭 한 번씩은 보셨을 거에요:-) 예제1 학생을 An이라 하고 각자의 시험지를 an이라 합시다. 시험지를 바꿔서 채점한다고 할 때, 자신의 시험지는 자신이 채점하지 않을 때, 채점하는 방법의 수가 Dn입니다. 예제2 X={1,2,3,...,n} f : X->X로의..

중학교 1학년때 배운 약수의 개수 문제가 고등학교에서도 그대로 나옵니다. 다만, 총합이나 총곱 등 조금 더 다루는 내용이 많아지죠. 여러개 찾아볼 필요 없이, 오늘은 이 내용을 총정리 해드리겠습니다! 일단 약수는 양의 정수(자연수)만 대상으로 셀 겁니다. 사실 범위를 정해놓지 않으면 무한개라 셀 수가 없습니다. 음, 간단하게 살펴볼까요? 그래서 이를 만족하는 자연수들을 대상으로 약수와 배수를 판정합니다. 그런데 만약 m,n이 자연수가 아니라면? 음수나 분수라면? 사실 더 나아가서 유리수, 무리수도 모두 약수로 가능합니다. 그나마 음의 '정수'까지는 셀 수 있더라도, 이를 넘어가면 개수를 셀 수 없죠. 뭐.. 이 부분은 대학교 과정이므로 더 이상 다루지는 않고 넘어갈게요. 본격적으로 약수를 세러 가봅시다!..

경우의 수를 구하다보면 배수 판정법이 종종 쓰일 때가 있죠. 쉬운 편이니 금방 정리하고 넘어갑시다. 규칙이 비슷한 것들끼리 살펴보고 필요하다면 증명도 같이 해보도록 해요.^^ 끝자리 수로 살펴보는 배수 판정법 2의 배수 : 일의 자리수가 0 또는 짝수 5의 배수 : 일의 자리수가 0 또는 5 10의 배수 : 일의 자리수가 0 (2의 배수 & 5의 배수이므로 공통 조건인 일의 자리수가 0인 걸 알 수 있습니다.) 초등학생들도 아는 가장 쉬운 배수판정법입니다. 일의 자리 숫자만 살펴보면 되죠. 그 다음은 4와 8의 배수입니다. 4의 배수 : 끝의 두 자리가 4의 배수 8의 배수 : 끝의 세 자리가 8의 배수 4와 8은 끝에서부터 각각 2자리, 3자리만큼을 보면 됩니다. 예를 들어볼까요? 4520 : 끝의 두..

수학(하)에서 순열과 조합을 미리 학습한 경우, 집합이나 함수 문제를 더 수월하게 풀 수 있습니다. 나중에 확률과 통계에서도 연결되는 부분이니 지금 미리 잘 하면 좋겠죠? Ch1. 조합을 이용한 집합의 개수 문제1 문제2 문제3 문제4 문제5 Ch2. 경우의 수를 이용한 집합의 개수 문제6 문제7 문제8 집합 X={1,2,3,4}의 공집합이 아닌 모든 부분집합 15개 중에서 임의로 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 A, B, C라 할 때 A⊂B ⊂ C일 확률은? 정답 : 2/91