집합의 정의 + 집합을 원소로 갖는 집합 문제 모음

집합안에 집합이 들어가 있는 집합

본 적 있죠?

 

예를들면 이런거요. 

집합기호⊂와,

원소기호∈를 배운다음

A={Ø,{Ø},0}일 때,

Ø⊂A

Ø∈A

{Ø}∈A

 

이런 거 헷갈리셨다면

오늘 주목!

 

이런 문제를 유형 쭉-할거니까

자신없는 친구들은 끝까지 포스팅 보도록 해요!

 

오늘은 집합의 정의와

집합을 원소로 갖는 집합에 대해

배워볼거에요.

 

집합의 정의

 

집합이란 '어떤 조건에 의하여

그 대상을 명확하게 구분할 수 있는

것들의 모임'입니다.

 

객관적인 조건들을 만족시키는

대상들의 모임이죠.

 

객관적이다라는 게

'누가 봐도 이견이 없는-'

이라고 보면 됩니다.

 

그러니까 '키가 큰 사람들의 모임'

이런 건 집합이 될 수 없습니다.

 

왜 일까요?

 

180cm인 사람은

이 집합에 들어갈 수 있을까요?

 

초등학생들 사이에서 180cm면

큰 키이지만,

NBA 농구선수들 기준에선

큰 키는 아닐 수 있죠.

 

키가 크다는 기준은

사람마다/혹은 집단마다

다를 수 있으니까요.

 

아래는 모두 집합입니다.

 

ⓐ 자연수들의 모임 

ⓑ 키가 180cm 이상인 사람들의 모임

ⓒ 다리가 4개인 동물들의 모임

ⓓ 1보다 작은 자연수의 모임

ⓔ 우리나라에서 인구가 가장 많은 도시의 모임

ⓕ 우리 반에서 키가 가장 큰 사람의 모임

ⓖ 날개가 있는 동물들의 모임

ⓗ 7보다 작은 홀수의 모임

ⓘ 빨간 사과의 모임

ⓙ Y-Math 재원생의 모임

 

 

아래는 모두 집합이 아닙니다.

ⓐ 착한 학생의 모임

ⓑ 힘센 사람의 모임

ⓒ 자연수에서 큰 수의 모임

ⓓ 한국 남자의 모임

ⓔ 아름다운 여인의 모임

ⓕ 작은 짝수의 모임

ⓖ 키 큰 사람들의 모임 

ⓗ 우리나라에서 인구가 많은 도시의 모임

ⓘ 아름다운 꽃들의 모임

 

크다, 착하다, 아름답다와 같은

주관적인 의견이 들어가면

집합이라고 보기 어렵습니다.

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자 다시 집합을 볼께요.

'어떤 조건에 의하여 그 대상을

명확하게 구분할 수 있는 것들의 모임'

 

여기서 명확하게 구분할 수 있는 것을

원소라고 합니다.

 

 Y-Math 재원생의 모임 = {ㅈㅎ,ㅅㅇ,ㅊㅎ}라고 한다면

 ㅈㅎ, ㅅㅇ, ㅊㅎ가 각각 원소가 되는 것이죠.

집합을 이루는 것들 하나하나가 원소죠.

 

집합을 원소로 갖는 집합

원소나열법을 살펴보면, 

우선 기호 중 ∈는

원소와 집합 사이에서만

쓸 수 있습니다.

 

그럼 원소는 어떤 것들이 원소였죠?

A={원소1, 원소2, 원소3, ..., 원소n}

즉, 대괄호 {}안에서

콤마(,)와 콤마(,) 사이에

써져있는 것이 원소입니다.

 

자 지금부터 하나씩 문제를 풀어볼게요!

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문제1

A={1,2,{3,4},{5}}

즉 원소기호 ∈를 쓸 수 있는 건

아래 4개의 원소들 뿐입니다.

1∈A

2∈A

{3,4}∈A

{5}∈A

 

부분집합 문제도 살펴볼까요?

① {1,2}⊂A (참)

{1,2}의 원소는 1과 2죠.

이건 A의 원소가 맞으니까 참입니다.

 

② {{3,4},{5},1}⊂A (참)

{{3,4},{5},1}의 원소는 {3,4}와 {5}와 1입니다.

이것 역시 A의 원소가 맞으니까 참이죠.

 

③ {{1,2},{5}}⊂A (거짓)

{{1,2},{5}}의 원소는 {1,2}와 {5}입니다.

그런데 {1,2}는 A의 원소가 아니므로

주어진 문장은 거짓입니다.

 

④ Ø⊂A (참)

Ø은 모든 집합의 부분집합이므로,

참입니다.

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문제2

B={1,2,{1,2}}

원소기호 ∈를 쓸 수 있는 건

아래 3개의 원소들 뿐입니다.

1∈B

2∈B

{1,2}∈B

 

부분집합 문제도 살펴볼까요?

① {1,2}⊂B (참)

{1,2}의 원소인 1과 2가

둘 다 B의 원소이므로 참입니다. 

 

② {1,{1,2}}⊂B (참)

{1,{1,2}}의 원소인 1과 {1,2}가

둘 다 B의 원소이므로 참입니다. 

 

③ {{1,2}}⊂B (참)

{{1,2}}의 원소인 {1,2}가

B의 원소이므로 참입니다.

 

④ Ø⊂B (참)

Ø은 모든 집합의 부분집합이므로,

참입니다.

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문제3

C={Ø,1,{2,3},4}

원소기호 ∈를 쓸 수 있는 건

아래 4개의 원소들 뿐입니다.

Ø∈C

1∈C

{2,3}∈C

4∈C

 

부분집합 문제도 살펴볼까요?

① {1,2,3}⊂C (거짓)

{1,2,3}의 원소는 1과 2와 3인데

여기서 1은 A의 원소지만

2와 3은 A의 원소가 아니므로 거짓.

 

② {{2,3},4}⊂C (참)

 {{2,3},4}의 원소는 {2,3}과 4인데

둘 다 C의 원소이므로 참입니다.

 

③ {{Ø}}⊂C (거짓)

{{Ø}}의 원소는 {Ø}인데

C의 원소가 아니므로 거짓.

(C의 원소는 {Ø}이 아닌 Ø)

 

④ Ø⊂C (참)

Ø은 모든 집합의 부분집합이므로,

참입니다.

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문제4

D={Ø,{Ø},0}

원소기호 ∈를 쓸 수 있는 건

아래 3개의 원소들 뿐입니다.

Ø∈D

{Ø}∈D

0∈D

 

부분집합 문제도 살펴볼까요?

① {Ø}⊂D (참)

{Ø}의 원소는 Ø인데

이는 D의 원소이므로 참입니다.

 

② {Ø,{0}}⊂D (거짓)

{Ø,{0}}의 원소는 Ø과 {0}인데

{0}은 D의 원소가 아니므로 거짓

 

③ {{Ø,{Ø}}}⊂D (거짓)

{{Ø,{Ø}}}의 원소는 {Ø,{Ø}}인데

이는 D의 원소가 아니므로 거짓

 

④ Ø⊂D (참)

Ø은 모든 집합의 부분집합이므로,

참입니다.

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연습이 좀 되셨나요?

수학에서 정의를 명확하게 이해하는 건

정말 중요합니다.

 

집합과 원소, 부분집합의 정의를 곱씹으며

열공해보도록 해요.

 

그럼 다음에도 유용한 포스팅으로 

돌아올게요!