한량 지아이의 수학 LIFE

원에서 접선은 가장 힘든 부분이죠. 오늘은 그 중에서 그나마 쉽게 구할 수 있는 접선을 배워볼거에요. 바로 원 위의 점에서 그은 접선의 방정식입니다. 우선은 공식을 먼저 증명해주고, 외워서 푸는 과정을 연습해보도록 해요. 기본적으로 접선도 직선이므로 기울기와 지나는 한 점을 알면 구할 수 있습니다. 아래 증명법은 읽어 보시되, 실제로 문제를 풀 때는 결과로 나오는 공식을 반드시 암기해서 바로 푸셔야 합니다. Case1) 중심이 원점이고, 반지름이 r인 원 위의 점 (a,b)에서 그은 접선의 방정식 구하기 그림으로 그리면 대충 이런 모양이죠. 이제 증명 해보겠습니다. 우선 보조선을 그어줍니다. 기본적으로 원에서 '접선'이 나온다고 하면 1) 접점과 중심을 이은 선이 접선과 수직임을 표기 2) 중심부터 접점..

오늘은 알아두면 매우 강력한 내용을 배워볼까 합니다. 보통은 원의 방정식에서 가장 학습하기 어려워 하는 부분이 접선의 방정식입니다. 이 중에서도 극선에 관한 내용을 살펴볼거에요. 극선이 뭔가요? 원 밖의 점에서 원에 그은 접선은 항상 2개입니다. 그러니 접점도 항상 2개죠. 이 두 접점을 이은 직선을 극선이라고 합니다. 그러니까 l이 극선인 거죠! 극선의 방정식 구하는 법 * 아래의 모든 증명을 가시성을 높이기 위해 일부러 좌표를 서로 다른 문자로 썼습니다. 일반적인 교재에서는 해당 점을 모두 (x1, y1), (x2, y2)와 같이 표기하고 있으니 염두하고 보세요. (a,b)에서 원에 그은 두 접선을 l1, l2라고 합시다. 원 위의 점에서 그은 직선의 방정식은 쉽게 구할 수 있으므로 l1과 l2를 각..

오늘은 삼차방정식에서 f(ax+b)=0꼴의 근에 대한 여러 문제를 좀 풀어볼까 합니다. 우선 아래 관계식을 한 번 살펴봅시다. 증명자체는 간단합니다. 애초에 방정식의 '근'이라는 것이 식을 참으로 만드는 x의 값이니까요. 즉 f(x)=0의 세 근이 α,β,γ라면 식의 x자리에 α,β,γ를 넣었을 때 성립한다는 뜻이죠. 여기서 f(cx-d)=0의 근을 한 번 추론해봅시다. f라는 식은 (괄호)안에 α,β,γ가 들어가면 0이 나오는 식입니다. 그렇다면 (괄호)안에 들어있는 (cx-d)라는 식이 α,β,γ가 되면 참이 되겠죠? 이걸 그대로 정리만 해주면 됩니다. 방정식에서 '근'을 물어본다는 건, 결국 x가 뭐냐고 묻는 것이니까, x라는 문자에 관해 정리해주면 되는 것이죠. 간단하죠? 사실 이 부분은 이차방정..

이전에 이차방정식을 배우면서 계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을 배웠던 것 기억 나시나요? 근이 역수거나, 음수인 경우에는 금방 구할 수 있었죠. 만약 기억이 안 나신다면 아래 포스팅을 꼭꼭 복습해주시구요..! https://ladyang86.tistory.com/45 [이차방정식 꿀팁] 역수를 근으로 갖는 방정식 빨리 구하는 방법 오늘은 이차방정식에서 계수를 통해 근을 빨리 구하는 방법을 배워보도록 할게요. 원래는 근과 계수와의 관계를 이용하여 합과, 곱을 구하고 식을 직접 구성하면 됩니다. 그렇지만, 객관식인 경 ladyang86.tistory.com 오늘은 이걸 확장해서 삼차방정식인 경우에도 구해볼 거에요. 객관식인 경우에는 아래와 같이 바로 구하시면 됩니다. 삼차방정식은 최고차계수에 따라 그냥 ..

오늘은 계수가 대칭인 사차방정식을 풀어볼게요. 일반적으로 사차방정식을 풀 때는 삼차방정식과 동일하게 이차식까지 최대한 인수분해하여 풀면 됩니다. 그런데 말입니다- 고1때 나오는 대부분의 삼차방정식은 조립제법을 사용하면 다 풀리는데, 사차는 조립제법을 사용 못하는 경우도 있어요. 이유는 오늘의 포스팅을 보시면 이해가 되게끔 아래에서 설명해 놓았습니다.! 우선은 계수가 대칭인 사차방정식을 푸는 일반적인 방법을 설명해볼게요! 알고리즘대로 차근히 따라서 푸시면 됩니다. 자, 아래 문제를 직접 풀어볼까요? 문제1 쌤, 그냥 조립제법 쓰면 안돼요? 이런 생각이 들 수 있죠. 실제로 위의 방정식은 아래와 같이 조립제법으로 손쉽게 풀립니다. 뭐.. 위처럼 인수가 바로 보인다면, 조립제법으로 바로 푸시면 됩니다.! 인수..

시험보기전 반드시 외우고 들어가야 할 문자 3개짜리 곱셈공식과 인수분해공식 총정리 해보았습니다. 위의 8가지 식이 바로 떠오르지 않는다면 오늘 내용 학습을 해주세요.!ㅋㅋ 1. 기본적인 곱셈공식 사실은 중학교 때도 배우는.. 곱셈공식이죠. ②의 경우는 전개한 식을 이항하시면 됩니다. 2. 방정식에서 많이 응용되는 공식 이 부분은 나중에 삼차 방정식에서 정말 많이 보실거에요. 그렇지만 a+b+c, ab+bc+ca, abc가 셋 다 들어있는 식이라 곱셈공식에서도 꽤 중요하게 나옵니다. 이 부분은 조만간 문제 모아서 포스팅 할게요. 부호 조심해서 외워주세요! 3. 삼각형과 연관돼서 많이 나오는 곱셈공식 ⑤이 특히 정삼각형으로 많이 나오죠. 이 공식은 그냥 외우기 보다는 유도과정 자체를 이해하셔야 합니다. 여기..

오늘은 복이차식 인수분해를 풀어볼거에요. 복이차식에서 '복'자란 겹칠 복자입니다. 복부호동순이란 말도 들어보셨죠? 같은 한자를 씁니다. ±와 같이 부호를 겹쳐서 쓴 걸 복부호라고 읽는데, 동순은 순서가 같단 뜻이에요. 겹쳐진 부호끼리 순서가 같은 거죠. 위에 있는 부호끼리 한쌍, 아래 있는 부호끼리 한쌍 뭐 이렇게 보시면 됩니다. 아무튼 복이차식은 말 그대로 풀자면 이차식이 겹쳐져 있는(?) 형태입니다. x대신 x^2을 넣는다면 복이차식이 되죠. 서론이 길었네요. 본격적으로 인수분해 해봅시다.! 우선 복이차식 형태를 본다면 가장 먼저 치환을 해서 인수분해를 시도해봅니다. 그런데 만약 안된다? 이럴 때 오늘 배운 합차꼴로 인수분해 하시면 됩니다. 합차꼴로 변형할 때의 핵심은 완전 제곱식 두 개를 만들어 주..

오늘은 문자가 2개인 경우, 거듭제곱꼴이 나올 때를 다루어볼거에요. 싹 다 곱셈공식의 변형으로 풀어보겠습니다. 위의 11개식 다 유도할 줄 알면, 여기서 뒤로 가셔도 됩니다.^^ 아니라면 같이 공부해요! 유도해야 할 식이 많으니, 전부 X+Y=3, XY=2일 때로 둘게요. 하나씩 해봅시다. 가장 기본적인 곱셈공식의 변형입니다. 공식을 사용해서 바로 풀면 됩니다. 이거 모르면 뒷 문제 풀지말고 아래에 링크 걸어둔 중3용 곱셈공식의 변형부터 복습하고 돌아옵시다. ladyang86.tistory.com/87 곱셈공식의 변형 연습용 문제 모음 가장 기본적인 이차 식변형 곱셈공식의 변형 문제 모음 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 곱셈공식 분수꼴 곱셈공식 분수꼴 ..

오늘은 고1 해석기하에서 배우는, 삼각형의 무게중심에 대해 간단한 정리를 해볼 예정입니다. 정의나 다른 일반적인 성질 말고, 문제풀이에 유용하게 쓸 수 있는 성질입니다. 첫째, 삼각형 내분점들의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 같습니다. AB,BC,CA를 m:n으로 내분하는 점을 P,Q,R이라 하면, 증명은 매우 간단합니다. PQR의 좌표를 구한다음, 무게중심을 구하면 됩니다. 즉 △ABC의 무게중심 = △PQR의 무게중심입니다. 참고로 외분점의 경우도 수식을 정리해보면 성립하는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 둘째, 삼각형 내부의 점 중, 세 꼭짓점까지의 거리 제곱의 합이 최소가 되는 점은 무게중심이다. 내부의 임의의 점을 P(a,b)로 두고, 세 꼭짓점까지의 거리의 제곱을 구해봅니다. 여기서 xa,x..

문자가 2개인데 식이 1개 뿐인 경우에는 해가 무수히 많이 나옵니다. 예를 들어 2x-y=0의 해는 (1,2), (2,4) ..., (10,20)... 등 무수히 많죠. 부정방정식이란? 일반적으로 문자의 개수보다 식의 개수가 더 적을 때는 위처럼 해가 무수히 많이 나옵니다. 이런 방정식을 부정방정식이라고 부릅니다. 부정이 한자로 아닐 부(不) + 정할 정(定)자를 써요. 해가 무수히 많이 나오기 때문에 하나로 정할 수 없는 방정식인 거죠. 그런데 이러한 부정방정식에도 특수한 조건이 붙으면 해를 유한개 구할 수 있습니다. 오늘은 그 중 '정수 조건'이 붙어 있는 부정방정식을 풀어볼 거에요. 강제로 인수분해하기 사실은 공통인수로 묶어서 더하고 빼준다는 개념인데, 상수를 제외하고 나머지 문자가 나오게끔 처음부..