한량 지아이의 수학 LIFE

명제가 참인지 거짓인지는 진리 집합간의 포함관계로 판단하시면 됩니다. 즉 P⊂Q이면 p⇒q인 것이죠. 부등식이나 방정식 역시 이러한 방법으로 나타내면 좀 더 편하게 판단할 수 있습니다. 문자가 a,b인 경우도 마찬가지인데, 우리는 항상 축을 x,y로 썼으니 오늘 실린 모든 예제는 다 x,y라는 문자만 사용할거에요. 혹시나 다른 문자가 나오더라도 문자 바꿔서 그리시면 됩니다. 예제1 p : x=0이거나 y=0이다. q : x²+y²=0이다. x=0은 y축, y=0은 x축이고 or는 합집합이므로 둘다 그려주면 됩니다. 진리집합을 다 표시한 다음에는 포함관계를 살펴보시면 돼요! 예제2 p : x=y q : x²=y² 이건 직선으로 나타내시면 됩니다. 특히 q의 경우에는 인수분해가 되므로 직선을 2개 그리시면 ..

원래는 다 이동해야 하는데, 빨리 찾는 꿀팁 알려 드릴게요. 바로 분모를 0으로 만드는 x의 값을 분자에 대입하시면 됩니다. 먼저 간단한 문제를 풀면서, 어떻게 사용하는 건지 알아보도록 할게요. 다음 중 평행이동해서 y=2/x와 겹치는 함수의 그래프를 찾아보도록 합시다. 어때요 굉장히 쉽죠? 그럼 이게 왜 이렇게 풀 수 있는건지 간단하게 증명을 한 번 해보도록 할게요. 방법은 간단합니다. 표준형을 일반형으로 만드는 과정을 잘 관찰하시면 돼요. * 주의사항 위는 분모의 x 계수가 1일 때이므로, 1이 아닐 때는 분모의 x 계수를 같이 보셔야 합니다. 문제를 같이 풀어볼까요? 사실 ①은 x축 방향으로 평행이동한 모양이 바로 보이기 때문에 쉽습니다. 분모의 계수와 분자에 남은 값을 같이 봐야하는 게 포인트죠...

집합안에 집합이 들어가 있는 집합 본 적 있죠? 예를들면 이런거요. 집합기호⊂와, 원소기호∈를 배운다음 A={Ø,{Ø},0}일 때, Ø⊂A Ø∈A {Ø}∈A 이런 거 헷갈리셨다면 오늘 주목! 이런 문제를 유형 쭉-할거니까 자신없는 친구들은 끝까지 포스팅 보도록 해요! 오늘은 집합의 정의와 집합을 원소로 갖는 집합에 대해 배워볼거에요. 집합의 정의 집합이란 '어떤 조건에 의하여 그 대상을 명확하게 구분할 수 있는 것들의 모임'입니다. 객관적인 조건들을 만족시키는 대상들의 모임이죠. 객관적이다라는 게 '누가 봐도 이견이 없는-' 이라고 보면 됩니다. 그러니까 '키가 큰 사람들의 모임' 이런 건 집합이 될 수 없습니다. 왜 일까요? 180cm인 사람은 이 집합에 들어갈 수 있을까요? 초등학생들 사이에서 180..

오늘은 고1이 풀어볼만한 함수방정식을 몇 개 갖고 와봤습니다. 함수방정식은 함수 자체를 근으로 하는 방정식을 말합니다. 얼핏 보기엔 굉장히 힘들어 보이지만, 푸는 방식은 연립방정식과 비슷해요. 푸는 방법은 다 같습니다. 1. 함숫값에 들어가는 두 방정식의 문자가 같게 만들어 줍니다. 2. 연립방정식처럼 가감법을 이용하여 풀어줍니다. 그럼 하나씩 풀어볼까요? 예제1 함숫값에 들어가는 두 문자는 x와 1-x죠. 둘을 바꿔서 넣어주면 됩니다. 즉 x 대신 1-x를 넣는거죠. 그럼 1-x는 x가 되겠죠? 식을 정리해서 f(x)는 f(x)끼리, f(1-x)는 f(1-x)끼리 오도록 세로식을 정리해줍니다. 우리가 구하는 건 f(x)이니까, 가감법을 사용하여 f(1-x)를 없애주면 됩니다. 함수 자체를 다루는 거라,..

서로 다른 주사위 두 개를 던지는 문제는 순서쌍을 세는 것보다, 표로 그려서 풉시다. 주사위 문제는 고3때까지 꾸준히 나옵니다. 그리고 위의 표를 이용해서 푸는 방법은 한결 같이 사용할 수 있죠 :-) 다년간 지도를 해보면, 표를 그리는 게 귀찮기 때문에(?) 많은 학생들이 그냥 순서쌍을 찾으려고 합니다. 그렇지만 순서쌍은 바뀌는 경우를 고려하지 못하거나 중간에 숫자를 빼먹는 경우가 많죠. (사실 숫자 쓰는 게 더 귀찮아요.) 주사위 문제를 단 한 번이라도 틀린 적이 있다면, 오늘 포스팅 주목!! 앞으로 주사위는 표 그려서 풉시다! 아래는 주사위 문제를 표로 풀면 좋은 이유입니다. 1. 합이 일정함. 합이 일정하므로 찾기 쉽습니다. 같은 색깔은 합이 같은 수들입니다. 표기하다보면 누락하는 걸 방지할 수 ..

절댓값이 포함된 함수의 그래프는 고3 때까지 계속 나오므로, 꼭 그릴 줄 알아야 하죠. 특히나 y=|f(x)|의 그래프와, y=f(|x|)의 그래프 두 개는 x에서 y로의 함수 그래프이므로, 그릴 줄 알아야 합니다. 오늘은 유리함수를 대상으로 y=f(x) 그래프를 그린 다음, ① y=f(|x|)의 그래프 ② y=|f(x)|의 그래프 요 두 개를 모두 그려볼게요. 유리함수의 절댓값 그래프를 다양하게 그려보는 연습이죠 :-) 우선 위의 내용을 숙지하고, 따라오셔야 합니다. 저걸 왜 저렇게 그리는지는 포스팅 분량이 너무 길어지므로, 아래 링크해 둔 절댓값 함수의 그래프를 참고하시면 됩니다. ↓ https://ladyang86.tistory.com/18 [함수] 절댓값이 포함된 함수의 그래프 그리는 방법 오늘 ..

오늘은 시험 때 시간을 매우 단축시켜주는 꿀팁을 배워 볼 예정입니다. 교란순열(완전순열)이란? 교란순열 : Derangement 완전순열 : Complete permutation 혹은 서브 팩토리얼로 불립니다. Derangement 에서 D를 따와서, n개짜리 교란순열을 Dn이라고 씁니다. 정의 n개의 원소가 모두 자기 자신이 아닌 값으로 배정되는 순열 (모든 원소의 위치를 바꾸는 순열) 말이 좀 어렵죠? 아래 예제를 통해서 이해해봅시다. 아마 꼭 한 번씩은 보셨을 거에요:-) 예제1 학생을 An이라 하고 각자의 시험지를 an이라 합시다. 시험지를 바꿔서 채점한다고 할 때, 자신의 시험지는 자신이 채점하지 않을 때, 채점하는 방법의 수가 Dn입니다. 예제2 X={1,2,3,...,n} f : X->X로의..

굉장히 유형화 되어 있지만 이해가 잘 안 가는 문제들이 몇개 있죠. 오늘은 경우의 수에서, 동전/혹은 지폐를 세는 문제를 좀 다뤄볼까 합니다. 간단하게 예제 하나만 다루면서 설명 해볼게요. 문제 100원짜리 동전 1개, 50원짜리 동전 3개, 10원짜리 동전 2개가 있다. 이 동전의 일부 또는 전부를 사용하여 지불할 수 있는 방법의 수를 a, 지불할 수 있는 금액의 수를 b라 할 때, a-b의 값은? (단, 0원을 지불하는 경우는 제외한다.) 1. 지불 할 수 있는 방법 어떤 동전을 몇 개 사용하느냐? 이게 포인트입니다. 같은 백원을 지불하더라도, 100원짜리 동전을 하나 쓰는 거랑, 50원짜리 동전을 두 개 쓰는 건 다르니까요. 이 부분은 양의 약수의 개수 세는 방법과 거의 같습니다. 100원/50원/..

중학교 1학년때 배운 약수의 개수 문제가 고등학교에서도 그대로 나옵니다. 다만, 총합이나 총곱 등 조금 더 다루는 내용이 많아지죠. 여러개 찾아볼 필요 없이, 오늘은 이 내용을 총정리 해드리겠습니다! 일단 약수는 양의 정수(자연수)만 대상으로 셀 겁니다. 사실 범위를 정해놓지 않으면 무한개라 셀 수가 없습니다. 음, 간단하게 살펴볼까요? 그래서 이를 만족하는 자연수들을 대상으로 약수와 배수를 판정합니다. 그런데 만약 m,n이 자연수가 아니라면? 음수나 분수라면? 사실 더 나아가서 유리수, 무리수도 모두 약수로 가능합니다. 그나마 음의 '정수'까지는 셀 수 있더라도, 이를 넘어가면 개수를 셀 수 없죠. 뭐.. 이 부분은 대학교 과정이므로 더 이상 다루지는 않고 넘어갈게요. 본격적으로 약수를 세러 가봅시다!..

절대부등식의 대표적인 예로 산술기하평균을 이용한 부등식을 배웁니다. 이때, 두 식의 차를 이용하여 증명하는 것이 가장 일반적이지만, 기하적인 방법으로도 증명할 수 있습니다. 산술기하 부등식의 조건이 변수가 모두 양수일 때이므로, 도형에서 변의 길이로 생각하면, 직관적으로 이해가 됩니다. 산술기하 부등식 증명 첫번째 위 그림과 같이 중심이 O이고, AB를 지름으로 하는 반원을 봅시다. 호 위의 한 점 C를 잡아 수선의 발을 내려줍니다. 양끝으로부터의 길이 중 짧은 것을 a 긴 부분을 b라고 두겠습니다. 그림에서 보면 아시겠지만, 당연히 DO가 CM보다 깁니다. 언제 같을까요? a=b일때 성립하겠죠. DO는 원의 반지름이므로 산술평균이고, CM은 직각삼각형의 높이이므로 기하평균이 나옵니다. (혹시 이 부분이..